探讨不等式不等式恒成立、不等式有解、不等式无解三者辨析

在不等式的综合问题中，经常涉及与不等式恒成立、不等式有解、不等式无解等方面的内容，这种类型的问题既涉及不等式、函数、方程等知识的综合，也涉及数形结合、等价转换等方面的数学思想的灵活运用，同时也是培养学生逻辑推理等数学素养的绝佳的素材，因此，在历届高考命题中常常为命题专家所青睐.
如何解决这类问题呢？下面试图从逻辑上的等价转换的角度给出这类问题的一般解法.

1.不等式恒成立问题

这类问题可分两种情况：
（1）当目标函数f（x）有对应最值时
（2）当目标函数f（x）无对应最值时
但如果此时能求出f（x）的值域为（m，n）（m（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G的所有实数x，不等式-x2+2mx+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.
解（1）利用f（t）的单调性可得f（t）的值域G=12，3.
（2）解法一：以g（x）=-x2+2mx+2m=-（x-m）2+摘自：毕业论文的格式www.618jyw.com
m2+2m为目标函数，根据m和区间[12，3]关系，得
12≤m≤3，g（m）=m2+2m≤1，或m>3，g（3）=8m-9≤1，或m<12，g12=3m-14≤1.
解以上三个不等式组分别得m∈，或m∈，或m≤512，故所求m的范围为-∞，512.

2.不等式无解问题

这类问题可转换为第1种的问题.
（1）当目标函数f（x）有对应最值时
（2）当目标函数f（x）无对应最值时
但如果此时能求出f（x）的值域为（m，n）（m

3.不等式有解问题

以下以f（x）>a有解为例，来说明将问题进行等价转换，先考虑f（x）>a无解时的情况，即f（x）≤a恒成立.
①当f（x）有最大值时， f（x）>a无解f（x）≤a恒成立f（x）max≤a，故f（x）>a有解f（x）max>a；
②当f（x）无最大值时， 如果此时能求出f（x）的值域为（m，n）（ma无解f（x）≤a恒成立n≤a，故f（x）>a有解n>a.
一般可得以下两种情况
（1）当目标函数f（x）有对应最值时
（2）当目标函数f（x）无对应最值时
但如果此时能求出f（x）的值域为（m，n）（m例2若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+（a-2）x-2>0成立，则实数x的取值范围是.
解分清主元和次元（即参数），令f（a）=ax2+（a-2）x-2=（x2+x）a-2x-2，则根据以上结论得g（a）max>0，由于g（a）是a∈[1，3]上的一条线段，它的最大值在a=1或a=3处取得，由g（a）的图像知，g（3）>0或g（1）>0（也可按g（a）的单调性讨论得x2+x≥0g（3）>0或x2+x0），解得x∈{x|x>23或x<-1}.
对以上三类问题的冷思考：
（1）对所研究的不等式要做好等价化简和参数分离工作，尽量使所构造的目标函数简单（即尽可能不含参数），便于求最值或者求值域.
（2）如所研究的不等式的两边是基本初等函数，通过构造两个函数，用图像求解也是行之有效的方法.