简谈解析几何平面向量与剖析几何交汇学位

由于向量有代数与几何形式的双重身份，因此，平面向量与解析几何的交汇问题就自然地联系在一起，平面向量与解析几何的交汇备受新课程高考命题的青睐，其涉及的问题是以解析几何中的坐标为背景的一种，包括向量描述求曲线方程、求参数的取值（范围）、探究圆锥曲线的性质等方面，而解决的关键仍是以坐标法为主，利用向量数量积的运算及消元法等知识、方法进行转化处理。
例1.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=
（A）■ （B）■ （C）-■ （D）-■
审题视点：首先联立直线与抛物线方程，求得交点A、B的坐标，再由向量的数量积公式求解。
解：联立y2=4xy=2x-4，消y得x2-5x+4=0，解得x=1，x=4。
不妨设A在x轴下方，于是A，B的坐标分别为（4，4），（1，-2）。■=（0，-2），■=（3，4），cos∠AFB=■=■=-■，故选D。
例2.已知平面上一定点C（2，0）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（■+■■）·（■-■■）=0。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若EF为圆N：x2+（y-1）2=1的任一条直径，求■·■的最值。
审题视点：第（1）问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；第（2）问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解。
解：（1）设P（x，y），则Q（8，y）
由（■+■■）·（■-■■）=0，得|PC|2-■|PQ|2=0，
即（x-2）2+y2-■（x-8）2=0，化简得■+■=1。
所以点P在椭圆上，其方程为■+■=1。
（2）因■·■=（■-■）·（■-■）=（-■-■）·（■-■）=（-■）2-■2=■2-1，P是椭圆■+■=1上的任一点，设P（x0，y0），则有■+■=1，即x02=16-■，又N（0，1），所以■2=x02+（y0-1）2=-■y02-2y0+17=-■（y0+3）2+20。
因y0∈[-2■，2■]，所以当y0=-3时，■2取得最大值20，故■·■的最大值为19；
当y0=2■时，■2取得最小值（2■-1）2=13-4■，（此时x0=0），故■·■的最小值为12-4■。
方法总结：平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法。
例3.已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是（1，0）。
（1）证明：■·■为常数；
（2）若动点M满足■=■+■+■（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程。
审题视点：本题可以采用设而不求的方法，设出A（x1，y1），B（x2，y2），对于第（1）问，先由直线与双曲线关系确定两点坐标之间的关系，再确定■·■的解析式，进而证明为常数即可，但不要漏掉AB与x轴垂直的情况；对于第（2）问，先设动点M的坐标，再结合条件建立有关动点M的方程即可。
解：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）当AB与x轴垂直时，可知点A，B的坐标分别为（2，■），（2，-■），此时■·■=（1，■）·（1，-■）=-1。
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）
代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0。
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=■，x1x2=■源于：论文开题报告www.618jyw.com
，
于是■·■=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k2（x1-2）（x2-2）
=（k2+1）x1x2-（2k2+1）（x1+x2）+4k2+1
=■-■+4k2+1
=（-4k2-2）+4k2+1=-1
综上所述，■·■为常数-1。
（2）设M（x，y），则■=（x-1，y），■=（x1-1，y1），■=（x2-1，y2），■=（-1，0），
由■=■+■+■得：
x-1=x1+x2-3y=y1+y2，即x1+x2=x+2y1+y2=y
于是AB的中点坐标为（■，■）。
当AB不与x轴垂直时，■=■-2=■，即y1-y2=■（x1-x2）。
又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x+2）=（y1-y2）y。
将y1-y2=■（x1-x2）代入上式，化简得x2-y2=4。
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程。
所以点M的轨迹方程是x2-y2=4。
点评：本题是平面向量与解析几何交汇的综合问题，涉及垂直、共线、轨迹等相关内容，解决难点的方法在于如何借助条件把几何问题坐标化、数量化，从而推理转化为运算。
（责编 高伟）