试议备考例说高考数学备考中由具体到抽象学术
更新时间：2024-02-11
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摘要：从具体到抽象是数学发展的一条重要大道，本文通过对离心率取值范围问题的讨论，例说高考备考中如何从具体到抽象，建立数学模型，使高考复习有章可循，少走弯路。
关键词：具体 抽象 离心率 不等关系
我国著名数学家华罗庚指出“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道”，当我们面对纷繁的同类型问题时，如果我们不去归纳整理、化具体为抽象、提炼数学模型，而只是一味地机械模仿计算、求解的话，就很难做到对知识的深刻理解，以及对问题本质的把握。我们只有在备考中不断地归纳总结，由具体到抽象，再由抽象到具体，才能在考试中以居高临下的观点看问题，也才能达到“看山不是山，看水不是水，看山还是山，看水还是水”的境界。下面我以对离心率取值范围问题的讨论为例，例说高考备考中如何从具体到抽象，构建数学模型，使高考复习有章可循，少走弯路。
题型一：已知圆锥曲线两焦半径大小关系求离心率的取值范围问题
例1．双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）的两个焦点为F
解析：方法一：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，又PF■≥AF■=c-ɑ（点A为双曲线和x轴右半轴交点），所以2ɑ≥c-ɑ，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。
方法二：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，PF■=4ɑ，由P为双曲线右支上一动点，由三角形边的关系得PF■+PF■≥F■F■，当且仅当P与A重合时取“=” 即4ɑ+2ɑ≥2c，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e>1故1＜e≤3。
方法三：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，由双曲线的第二定义得PF■=ex0-ɑ，所以2ɑ=ex0-ɑ，又由双曲线的范围x0≥ɑ得e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。
下面我们探讨当两个焦半径边的数量关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。
变式一：若将条件PF■=２PF■改为PF■＝？酌PF■，（？酌＞1）结果又会怎样呢？
解析：方法同上，结合焦三角形，利用双曲线定义及边数量的关系，易得离心率的范围是1＜e≤■。
若将圆锥曲线类型改变，其他条件不变，离心率的变化范围又会怎样呢？
变式二：在变式一的前提下，若将条件双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）改为椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）结果又会怎样呢？
解析：类比双曲线离心率范围问题求法，可得椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）当PF■＝？酌PF■时离心率的范围为■＜e＜1。
题型二：已知圆锥曲线两焦半径夹角关系求离心率的取值范围问题
例2．椭圆Ｇ：■＋■=1，（ɑ＞b＞0）的两焦点为F1（-c，0），F2（c，0），椭圆上存在点Ｍ使■·■＝０。求椭圆离心率e的取值范围。
分析：一方面可回归椭圆定义，借助焦三角形，建立边的等量关系，再利用均值不等式，将等量关系过渡到不等量关系，得到离心率的范围。另一方面，可以将存在性的问题转化为方程组有解的问题，进而建立了不等关系。另外，还可以从运动变化的角度，考查动点在整个运动变化过程中角的变化情况，从而确定范围，再借助三角函数变换将角的不等关系转化为边的不等关系，进而得到离心率的取值范围。
解析：方法一.由题意得，焦三角形ＭＦ１Ｆ２为直角三角形，ＭF■２＋ＭF■２＝Ｆ１F２２，设ＭF■＝m，ＭF■＝n，则m２＋n２＝（２c）2①；又由椭圆的定义得ＭF■＋ＭF■＝２ɑ，即m＋n＝２ɑ②，将②平方得m２＋n２+2mn＝（２a）2③。③-①得２mn=4（a2-c2），即mn＝２b2。由均值不等式可得，即mn≤（■）2，即2b2≤a2。由于e2=■=■=1-■≥1-■=1-■=■，又由0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。
方法二：设点M（x，y），椭圆上存在点M使■·■＝０，可转化为方程■＋■=1，（ɑ＞b＞0）①与方程x2＋y2=c2②组成的方程组有解，联立①②整理得（ɑ2-b2）x2=ɑ2（c2-b2）③，由ɑ＞b＞0，得a2-b2＞０，所以③式有解只需c2-b2≥０，即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。
方法三：当点M在椭圆上运动时，∠F1MF2的大小在不断地变化，当点M运动到椭圆的上下顶点时，∠F1MF2达到最大值，不妨设为角θ，若椭圆上存在点M使■·■＝０，即存在角∠F1MF2=90°，所以，只需θ≥90°，转化到△FBO中即■≥45°，则tan■≥tan45°，则■≥1即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率■≤e＜1。
接下来我们继续探讨当两个焦半径所成角的大小关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。
变式：若将条件■·■＝０改为（■，■）=？琢结果又会怎样呢？
解析：完全类比上面问题的解析方法，可得当（■，■）=？摘自：本科毕业论文模板www.618jyw.com
琢时离心率的取值范围是■≤e＜1或■≤e＜1。
离心率取值范围问题是高考的高频考点，又是高考的难点，而解决此类问题的关键在于根据题目条件，挖掘隐含条件，确定a、b、c、e的不等关系。常用的方法：（1）借助平面几何知识对图形进行定性分析。（2）运用坐标法转化成代数运算，借助圆锥曲线的性质求解。另外，在分析问题时要注意运用运动变化的观点考虑问题，研究变化规律，寻找引起离心率变化的决定性因素。
综上，通过构建两类求解离心率取值范围的数学模型，进一步体会由具体到抽象的必要性，从而真正达到对事物本质的进一步认识，再看具体问题时才能做到驾轻就熟，从容应对。
（责编 高伟）
关键词：具体 抽象 离心率 不等关系
我国著名数学家华罗庚指出“从具体到抽象是数学发展的一条重要大道”，当我们面对纷繁的同类型问题时，如果我们不去归纳整理、化具体为抽象、提炼数学模型，而只是一味地机械模仿计算、求解的话，就很难做到对知识的深刻理解，以及对问题本质的把握。我们只有在备考中不断地归纳总结，由具体到抽象，再由抽象到具体，才能在考试中以居高临下的观点看问题，也才能达到“看山不是山，看水不是水，看山还是山，看水还是水”的境界。下面我以对离心率取值范围问题的讨论为例，例说高考备考中如何从具体到抽象，构建数学模型，使高考复习有章可循，少走弯路。
题型一：已知圆锥曲线两焦半径大小关系求离心率的取值范围问题
例1．双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）的两个焦点为F
1、F2，若P为双曲线上一点，且PF■=2PF■，求双曲线离心率的取值范围。
分析：解决本题的关键在于确定a，b，c，e的不等关系，题目只给了两焦半径的等量关系，难点在于挖掘题目中的隐含条件确定不等关系。一方面我们可通过几何图形定性分析，找到边的不等关系，另一方面，也可通过定量计算，利用双曲线的性质范围由方程过渡到不等式，从而确定不等关系。解析：方法一：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，又PF■≥AF■=c-ɑ（点A为双曲线和x轴右半轴交点），所以2ɑ≥c-ɑ，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。
方法二：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，PF■=4ɑ，由P为双曲线右支上一动点，由三角形边的关系得PF■+PF■≥F■F■，当且仅当P与A重合时取“=” 即4ɑ+2ɑ≥2c，即3ɑ≥c，亦即e≤3，又e>1故1＜e≤3。
方法三：由双曲线定义PF■-PF■=2ɑ及PF■=2PF■可得PF■=2ɑ，由双曲线的第二定义得PF■=ex0-ɑ，所以2ɑ=ex0-ɑ，又由双曲线的范围x0≥ɑ得e≤3，又e＞1，故1＜e≤3。
下面我们探讨当两个焦半径边的数量关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。
变式一：若将条件PF■=２PF■改为PF■＝？酌PF■，（？酌＞1）结果又会怎样呢？
解析：方法同上，结合焦三角形，利用双曲线定义及边数量的关系，易得离心率的范围是1＜e≤■。
若将圆锥曲线类型改变，其他条件不变，离心率的变化范围又会怎样呢？
变式二：在变式一的前提下，若将条件双曲线■-■=1，（ɑ＞0，b＞0）改为椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）结果又会怎样呢？
解析：类比双曲线离心率范围问题求法，可得椭圆■＋■=1，（ɑ＞b＞0）当PF■＝？酌PF■时离心率的范围为■＜e＜1。
题型二：已知圆锥曲线两焦半径夹角关系求离心率的取值范围问题
例2．椭圆Ｇ：■＋■=1，（ɑ＞b＞0）的两焦点为F1（-c，0），F2（c，0），椭圆上存在点Ｍ使■·■＝０。求椭圆离心率e的取值范围。
分析：一方面可回归椭圆定义，借助焦三角形，建立边的等量关系，再利用均值不等式，将等量关系过渡到不等量关系，得到离心率的范围。另一方面，可以将存在性的问题转化为方程组有解的问题，进而建立了不等关系。另外，还可以从运动变化的角度，考查动点在整个运动变化过程中角的变化情况，从而确定范围，再借助三角函数变换将角的不等关系转化为边的不等关系，进而得到离心率的取值范围。
解析：方法一.由题意得，焦三角形ＭＦ１Ｆ２为直角三角形，ＭF■２＋ＭF■２＝Ｆ１F２２，设ＭF■＝m，ＭF■＝n，则m２＋n２＝（２c）2①；又由椭圆的定义得ＭF■＋ＭF■＝２ɑ，即m＋n＝２ɑ②，将②平方得m２＋n２+2mn＝（２a）2③。③-①得２mn=4（a2-c2），即mn＝２b2。由均值不等式可得，即mn≤（■）2，即2b2≤a2。由于e2=■=■=1-■≥1-■=1-■=■，又由0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。
方法二：设点M（x，y），椭圆上存在点M使■·■＝０，可转化为方程■＋■=1，（ɑ＞b＞0）①与方程x2＋y2=c2②组成的方程组有解，联立①②整理得（ɑ2-b2）x2=ɑ2（c2-b2）③，由ɑ＞b＞0，得a2-b2＞０，所以③式有解只需c2-b2≥０，即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率为■≤e＜1。
方法三：当点M在椭圆上运动时，∠F1MF2的大小在不断地变化，当点M运动到椭圆的上下顶点时，∠F1MF2达到最大值，不妨设为角θ，若椭圆上存在点M使■·■＝０，即存在角∠F1MF2=90°，所以，只需θ≥90°，转化到△FBO中即■≥45°，则tan■≥tan45°，则■≥1即c2≥b2，再由e2=■=■≥■=■，又0＜e＜1，可得椭圆的离心率■≤e＜1。
接下来我们继续探讨当两个焦半径所成角的大小关系由具体过渡到抽象时，离心率的变化情况。
变式：若将条件■·■＝０改为（■，■）=？琢结果又会怎样呢？
解析：完全类比上面问题的解析方法，可得当（■，■）=？摘自：本科毕业论文模板www.618jyw.com
琢时离心率的取值范围是■≤e＜1或■≤e＜1。
离心率取值范围问题是高考的高频考点，又是高考的难点，而解决此类问题的关键在于根据题目条件，挖掘隐含条件，确定a、b、c、e的不等关系。常用的方法：（1）借助平面几何知识对图形进行定性分析。（2）运用坐标法转化成代数运算，借助圆锥曲线的性质求解。另外，在分析问题时要注意运用运动变化的观点考虑问题，研究变化规律，寻找引起离心率变化的决定性因素。
综上，通过构建两类求解离心率取值范围的数学模型，进一步体会由具体到抽象的必要性，从而真正达到对事物本质的进一步认识，再看具体问题时才能做到驾轻就熟，从容应对。
（责编 高伟）
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