函数,策略学生,复习,《黄河清“理由导学”教学法》复习课教学课例评析
更新时间：2024-02-19
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“黄河清理由导学教学法”复习课教学方式，将教学结构分为四个：知识回顾—自主构建—运用探讨—总结归纳.每个都有明确的教学核心要素，为教学的组织了一条明确清晰的思路和范式，有助于提高教学效益，推动初中语文教学论文学生能力的进展.
以黄河清老师“降幂变换与添加辅助角（高三轮复习课）”一节课的教学为例，就“四”的简要的解读.（注：教学有删减）.
——“求会，更要求联（系）”.说，要理解知识的内涵、外延等本质特点，更要深思小学英语教学论文数学知识、策略教学论文间的联系，是它们在不同章节是怎样运用的，重在抓住“联系”核心要素.
理由2：在轮复习中，要树立怎样的复习观念呢？
对于策略教学论文——“不在求全，而应求变”.
，是能把数学策略教学论文都能做到熟练掌握，，学习“变化”，将所熟悉的数学策略教学论文的内涵和本质延伸、迁移，将理由转化求解，做到举一反三.
怎样变化？本节课对两种策略教学论文的复习与探讨，学习如何将有关理由转化求解.
理由3：请同学们观察理由：
（1）将asinx＋bcosx化为角的三角函数形式；
（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；
（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.
你能这三个式子间的联系吗？
浅析：这三个理由，是课本例题、课本习题、高考题（多次出现），它们是密切的.在（1）中令a＝b＝1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展开，再添加常数1（1＝sin2x＋cos2x），化简后即为（3）.
，它们形式不同，但以解题的本质上说一样的：可化为角的三角函数求解.（1）、（2）形式比较显著，困难就，怎样把（3）化为（1）、（2）的形式？
解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
=1-cos2x2+sin2x+3•1+cos2x2
=2+sin2x+cos2x
＝2sin(2x+π4)+2.
所以函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值为2+2，最小值为2-2.
理由4：三个理由的解决中都用到了哪些的数学变换？
（1）降幂变换：sin2x=1-cos2x2，cos2x=1+cos2x2；
（2）添加辅助角：asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，φ由tanφ=ba确定.
这两种变换是解决一类可化为y=Asin(ωx+φ)+B理由的策略教学论文，这节课要熟练掌握的策略教学论文.
教学深思小学英语教学论文：经常强调要让学生“回到”课本，怎样“回”？教师要有的策略教学论文指导.这就教师加强探讨，看看高考的要求是如何在课本的上变化、提高的，探讨“变”的是，它是如何拓展的，学生深入理解课本知识的性，做到正本清源，抓住根本.
【例1】 已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.
（1）写出f(x)的单调递增区间；
（2）若不等式f(x)－m≥0对x∈［0，π2］都成立，求实数m的最大值．
理由5：本题与上述范例有哪些联系与区别？
点：所给式子都有二次项，都有两项积sinxcosx，探讨函数的性质（如定义域、值域、单调性、周期性等理由）.
不同点：将理由引申到不等式中，说一类不等式理由也转化为探讨三角函数的性质理由.
解：（1）∵f(x)=1－cos2x+3sin2x+1=2sin(2x-π6)+2，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈
Z),
∴f(x)的单调递增区间是［kπ-π6,kπ+π3］(k∈Z).
（2）∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤56π，
∴-12≤sin(2x-π6)≤1，
∴1≤f(x)≤4，∴m≤1，即m的最大值为1.
理由6：以这道例题的解答中你能启迪？
（1）要探讨三角函数性质，降幂变换、添加辅助角两种策略教学论文转化为y=Asin(ωx+φ)+B，进而求解，解决此类类理由的通法；
（2）对一类恒成立理由，可化为求函数f(x)的最大（小）值来求解.学会比较，是转化的，求同存异，才能引发联想，做到举一反
【例2】 设函数f(x)=a•（b+c)，a=(sinx,-cosx)，b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.
（1）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（2）将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称.求长度最小的d.
浅析：本题有两个的特点：一是它给出含三角函数的等式，以向量为载体，转化才能化为类似例1的形式；二是对于理由（2），无论是用代数策略教学论文解还是图象法求解，怎样选取向量d对同学认知上的难点，要认真把它弄清.
解：（1）由f(x)=a(b+c)=(sinx,-cosx)(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2
+cos2x-sin2x=2sin(2x+34π)+2
，
故f(x)的最大值为2+2，最小正周期为π.
（2）策略教学论文1：由sin(2x+34π)=0得2x+34π=kπ，即x=kπ2-38π,k∈Z，
d=(38π-k2π,-2)，｜d｜＝(kπ8-3π8)2+4(k∈Z).
要使d最小，则k=1，此时d=(-π8,-2)为所求.
法2：描点作图，依题意，按向量d平移，
使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，
这样的向量d有无数个，而长度最小的d
，向量BO，即d=(-π8,-2).
例题的解答，这类理由的共性要化为角的三角函数求解，而“万变不离其宗”，要掌握“降幂变换、添加辅助角”两种策略教学论文，上，理由拓展到与其他知识的联系和整合上，衍生为综合性的理由.
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教学深思小学英语教学论文：学习是为了运用.例题中抽象出来的策略教学论文能否引申为一般的策略教学论文，对理由的解决有指导作用小学数学教学论文？这教师要引导学生深入深思小学英语教学论文的.地，对于以其他知识为载体的有关理由，能否化归的思想转化为三角函数理由来处理？怎样运用？教师的引导，让学生探寻、引申，对培养学生解决理由的意识和能力非常的.
课堂练习：
已知a=(3sinωx,1)，b=(cosωx，0)，ω＞0，又函数f(x)=a•(a-kb)(k＞0)是以π2为最小正周期的周期函数.
（1）求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最大值为52+3，则有着正实数t，使得函数f(x)的图象能由函数g(x)=ta•b的图象经过平移？若能，求出实数t并写出平移向量m；若，请理由.
（1）要熟练掌握“降幂变换、添加辅助角”两种策略教学论文，顺利解决可化为角的三角函数的有关理由；
（2）三角函数与其他知识的交汇点和联系，树立转化的意识，透过现象看本质，将理由化归到熟悉的理由情境中来求解.
作业：
1.已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx＋2cos2x，x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数f(x)的图象由函数y＝sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换？
2.已知三角形ABC的面积S3≤S≤3，且AB•BC=6,AB与BC
的夹角为θ.
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值.
“黄河清理由导学教学法”复习课教学特点在三个：
一是怎样使复习课加强、提高能力、进展智力，有性，是学生“惑”的理由.
二是深思小学英语教学论文复习课怎样上出新意，创建激发学生探讨的“亮点”.
三是精心深思小学英语教学论文复习课怎样去设计高的思维训练活动，保证课堂的思维量.
就复习课的来浅析、感悟黄老师的教学思想.
在这一中，黄老师的两个理由可谓“画龙点睛”：
理由1：在轮复习中，我向同学们了复习知识的要求，还记得它是吗？
理由化，引导学生有性地去深思小学英语教学论文、回忆复习知识的对策——“联系”，形成铺垫.
理由2：在轮复习中，要树立怎样的复习观念呢？
激发学生深思小学英语教学论文，自主寻找轮复习的抓手，教师再提炼、总结，轮复习的对策：对策略教学论文——“求全，而应求变”.明确的教学要求，能给学生强烈的信号，提升了学生对学习的积极性和度，为教师如何对“求全，而应求变”解读打下很好的.
黄老师是怎样这样的教学深思小学英语教学论文呢？
，“理由3：请同学们观察理由：（1）将asinx＋bcosx化为角的三角函数形式；（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.你能这三个式子间的联系吗？”有机地将课本例题、课本习题、高考题联系，让学生高考题并不神秘，平常学习的引申、拓展.面对“理由”在“变”，怎么去应对呢？那要紧紧抓住数学的思想策略教学论文，用“变化”的，将数学理由转化到的数学思想策略教学论文上来.然后，自然地引出“理由4：三个理由的解决中都用到了哪些的数学变换？”让学生前后知识的联系，抓住“两种变换”切入点，将本节课内容地展现在学生面前，将知识、策略教学论文串联，推动初中语文教学论文学生形成完整的认知结构.
本节课，黄老师设置了两道范例和一道训练题，看看例1中黄老师是怎样理由引导学生深思小学英语教学论文的.
理由5：本题与上述范例有哪些联系与区别？
理由6：以这道例题的解答中你能启迪？
理由的设置了以知识技能、知识间的纵横联系及思想策略教学论文等主线，地为学生搭建了阶梯，让学生“想探讨、能探讨”，激活了学生的思维，使学生在教师的引导下自主浅析、自主构建，这对提高学生的思维能力是非常的.而在理由解决的中，黄老师十分对学生的独到见解评价，告诉学生其的策略教学论文特点是，有何启发性，运用到了哪些数学思想，为何探讨受阻，理由的根源是等.点评，学生总结规律，推动初中语文教学论文学生举一反
本节课黄老师的总结了三个层面的理由解决：
一是理由7，引导学生归纳本节课教学的核心内容，并作了补充、完善，它：知识点的内涵、外延，探讨所运用到的数学思想策略教学论文，本节课的“亮点”所在，学存活在的理由等.
二是总结归纳知识网络.黄老师将学生的个体归纳与全体归纳相，让学生既有思维的独立又有的借鉴，易于理解、记忆和掌握.
三是强化抽象、的.学生的自主归纳带有很强的局限性和不完整性，及时引导和纠正，将完整的知识系统和数学思想策略教学论文呈现给学生，这对培养学生思维的全面性和深刻性有的作用.
综合来看，黄老师在这节课“理由导学”分四个层面：（1）让学生观察浅析三个式子（来自课本例题、习题、高考题），探讨它们之间的联系——怎样变化而来？（2）引导学生浅析典型例题（2006年高考题），探讨例题与这三个式子的联系：形式上、策略教学论文上有何区别与联系，让学生抽象出本质的东西——数学的思想策略教学论文；（3）让学生反思解例题所引发的深思小学英语教学论文、启迪；（4）引导学生运用总结提炼的思想策略教学论文对其他理由探寻、引申.这四个理由学生学习困惑，在“最近进展区”之中，且与课本密切.解决理由的不偏离知识、技能、策略教学论文，又激活转化能力，深化思维要求，学生学习情绪十分高涨.既了以解决学生认知上的难点为主线，又推动初中语文教学论文学生高思维训练的教学风格，正是黄老师“理由导学”教学思想的，一名数学老师追求的境界.
(责任编辑 金 铃）
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以黄河清老师“降幂变换与添加辅助角（高三轮复习课）”一节课的教学为例，就“四”的简要的解读.（注：教学有删减）.
一、知识回顾
理由1：在轮复习中，我向同学们了复习知识的要求，还记得它是吗？——“求会，更要求联（系）”.说，要理解知识的内涵、外延等本质特点，更要深思小学英语教学论文数学知识、策略教学论文间的联系，是它们在不同章节是怎样运用的，重在抓住“联系”核心要素.
理由2：在轮复习中，要树立怎样的复习观念呢？
对于策略教学论文——“不在求全，而应求变”.
，是能把数学策略教学论文都能做到熟练掌握，，学习“变化”，将所熟悉的数学策略教学论文的内涵和本质延伸、迁移，将理由转化求解，做到举一反三.
怎样变化？本节课对两种策略教学论文的复习与探讨，学习如何将有关理由转化求解.
二、自主构建
理由探讨：理由3：请同学们观察理由：
（1）将asinx＋bcosx化为角的三角函数形式；
（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；
（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.
你能这三个式子间的联系吗？
浅析：这三个理由，是课本例题、课本习题、高考题（多次出现），它们是密切的.在（1）中令a＝b＝1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展开，再添加常数1（1＝sin2x＋cos2x），化简后即为（3）.
，它们形式不同，但以解题的本质上说一样的：可化为角的三角函数求解.（1）、（2）形式比较显著，困难就，怎样把（3）化为（1）、（2）的形式？
解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x
=1-cos2x2+sin2x+3•1+cos2x2
=2+sin2x+cos2x
＝2sin(2x+π4)+2.
所以函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值为2+2，最小值为2-2.
理由4：三个理由的解决中都用到了哪些的数学变换？
（1）降幂变换：sin2x=1-cos2x2，cos2x=1+cos2x2；
（2）添加辅助角：asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，φ由tanφ=ba确定.
这两种变换是解决一类可化为y=Asin(ωx+φ)+B理由的策略教学论文，这节课要熟练掌握的策略教学论文.
教学深思小学英语教学论文：经常强调要让学生“回到”课本，怎样“回”？教师要有的策略教学论文指导.这就教师加强探讨，看看高考的要求是如何在课本的上变化、提高的，探讨“变”的是，它是如何拓展的，学生深入理解课本知识的性，做到正本清源，抓住根本.
三、运用探讨
典例精析（2006年高考题）：【例1】 已知函数f(x)=2sin2x+23sinxcosx+1.
（1）写出f(x)的单调递增区间；
（2）若不等式f(x)－m≥0对x∈［0，π2］都成立，求实数m的最大值．
理由5：本题与上述范例有哪些联系与区别？
点：所给式子都有二次项，都有两项积sinxcosx，探讨函数的性质（如定义域、值域、单调性、周期性等理由）.
不同点：将理由引申到不等式中，说一类不等式理由也转化为探讨三角函数的性质理由.
解：（1）∵f(x)=1－cos2x+3sin2x+1=2sin(2x-π6)+2，
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈
Z),
∴f(x)的单调递增区间是［kπ-π6,kπ+π3］(k∈Z).
（2）∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤56π，
∴-12≤sin(2x-π6)≤1，
∴1≤f(x)≤4，∴m≤1，即m的最大值为1.
理由6：以这道例题的解答中你能启迪？
（1）要探讨三角函数性质，降幂变换、添加辅助角两种策略教学论文转化为y=Asin(ωx+φ)+B，进而求解，解决此类类理由的通法；
（2）对一类恒成立理由，可化为求函数f(x)的最大（小）值来求解.学会比较，是转化的，求同存异，才能引发联想，做到举一反
三、触类旁通.
教学深思小学英语教学论文：例题的功能它的启发性.本题探讨例题与引入理由的三个式子的联系：形式上、策略教学论文上有何区别与联系，让学生抽象出本质的东西——数学的思想策略教学论文：降幂变换与添加辅助角.而在变化的中，相比前面观察的三个式子在哪些有革新？总结、深思小学英语教学论文，正是培养学生思维深刻性的手段.【例2】 设函数f(x)=a•（b+c)，a=(sinx,-cosx)，b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.
（1）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（2）将函数y=f(x)的图象按向量d平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称.求长度最小的d.
浅析：本题有两个的特点：一是它给出含三角函数的等式，以向量为载体，转化才能化为类似例1的形式；二是对于理由（2），无论是用代数策略教学论文解还是图象法求解，怎样选取向量d对同学认知上的难点，要认真把它弄清.
解：（1）由f(x)=a(b+c)=(sinx,-cosx)(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2
+cos2x-sin2x=2sin(2x+34π)+2
，
故f(x)的最大值为2+2，最小正周期为π.
（2）策略教学论文1：由sin(2x+34π)=0得2x+34π=kπ，即x=kπ2-38π,k∈Z，
d=(38π-k2π,-2)，｜d｜＝(kπ8-3π8)2+4(k∈Z).
要使d最小，则k=1，此时d=(-π8,-2)为所求.
法2：描点作图，依题意，按向量d平移，
使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，
这样的向量d有无数个，而长度最小的d
，向量BO，即d=(-π8,-2).
例题的解答，这类理由的共性要化为角的三角函数求解，而“万变不离其宗”，要掌握“降幂变换、添加辅助角”两种策略教学论文，上，理由拓展到与其他知识的联系和整合上，衍生为综合性的理由.
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教学深思小学英语教学论文：学习是为了运用.例题中抽象出来的策略教学论文能否引申为一般的策略教学论文，对理由的解决有指导作用小学数学教学论文？这教师要引导学生深入深思小学英语教学论文的.地，对于以其他知识为载体的有关理由，能否化归的思想转化为三角函数理由来处理？怎样运用？教师的引导，让学生探寻、引申，对培养学生解决理由的意识和能力非常的.
课堂练习：
已知a=(3sinωx,1)，b=(cosωx，0)，ω＞0，又函数f(x)=a•(a-kb)(k＞0)是以π2为最小正周期的周期函数.
（1）求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最大值为52+3，则有着正实数t，使得函数f(x)的图象能由函数g(x)=ta•b的图象经过平移？若能，求出实数t并写出平移向量m；若，请理由.
四、总结归纳
理由7：本节课复习了哪些知识？你有哪些收获？（1）要熟练掌握“降幂变换、添加辅助角”两种策略教学论文，顺利解决可化为角的三角函数的有关理由；
（2）三角函数与其他知识的交汇点和联系，树立转化的意识，透过现象看本质，将理由化归到熟悉的理由情境中来求解.
作业：
1.已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx＋2cos2x，x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（2）函数f(x)的图象由函数y＝sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换？
2.已知三角形ABC的面积S3≤S≤3，且AB•BC=6,AB与BC
的夹角为θ.
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值.
“黄河清理由导学教学法”复习课教学特点在三个：
一是怎样使复习课加强、提高能力、进展智力，有性，是学生“惑”的理由.
二是深思小学英语教学论文复习课怎样上出新意，创建激发学生探讨的“亮点”.
三是精心深思小学英语教学论文复习课怎样去设计高的思维训练活动，保证课堂的思维量.
就复习课的来浅析、感悟黄老师的教学思想.
一、知识回顾
“知识回顾”是一节复习课的，其两个：一是引导学生系统回顾所学知识；二是有性地对疑难理由浅析、讲解，强化学生对所学知识的理解和对策略教学论文的掌握.在这一中，黄老师的两个理由可谓“画龙点睛”：
理由1：在轮复习中，我向同学们了复习知识的要求，还记得它是吗？
理由化，引导学生有性地去深思小学英语教学论文、回忆复习知识的对策——“联系”，形成铺垫.
理由2：在轮复习中，要树立怎样的复习观念呢？
激发学生深思小学英语教学论文，自主寻找轮复习的抓手，教师再提炼、总结，轮复习的对策：对策略教学论文——“求全，而应求变”.明确的教学要求，能给学生强烈的信号，提升了学生对学习的积极性和度，为教师如何对“求全，而应求变”解读打下很好的.
二、自主构建
自主构建是一节复习课的.复习课对学生掌握知识和策略教学论文的要求与新授课是有区别的.对知识，复习课重在引导学生建立知识间的联系，学会综合运用；对策略教学论文重在引导学生“学会变化”.变化，将策略教学论文的内涵和本质延伸、迁移，转化为理由求解.，这一上的任务，要围绕“变化”词来展开.黄老师是怎样这样的教学深思小学英语教学论文呢？
，“理由3：请同学们观察理由：（1）将asinx＋bcosx化为角的三角函数形式；（2）求y＝cosx＋sinx的最大值和最小值；（3）求y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值和最小值.你能这三个式子间的联系吗？”有机地将课本例题、课本习题、高考题联系，让学生高考题并不神秘，平常学习的引申、拓展.面对“理由”在“变”，怎么去应对呢？那要紧紧抓住数学的思想策略教学论文，用“变化”的，将数学理由转化到的数学思想策略教学论文上来.然后，自然地引出“理由4：三个理由的解决中都用到了哪些的数学变换？”让学生前后知识的联系，抓住“两种变换”切入点，将本节课内容地展现在学生面前，将知识、策略教学论文串联，推动初中语文教学论文学生形成完整的认知结构.
三、运用探讨
运用探讨是一节复习课的.知识是“死”的，而运用则是“活”的，学习的知识能否为已所用，解决实际理由就很好地检验.，精选有性和典型性的例题、习题，引导学生探讨，既强化学生知识的系统性，又纠正学生运用知识可能出现的理由和偏差，这一的任务.本节课，黄老师设置了两道范例和一道训练题，看看例1中黄老师是怎样理由引导学生深思小学英语教学论文的.
理由5：本题与上述范例有哪些联系与区别？
理由6：以这道例题的解答中你能启迪？
理由的设置了以知识技能、知识间的纵横联系及思想策略教学论文等主线，地为学生搭建了阶梯，让学生“想探讨、能探讨”，激活了学生的思维，使学生在教师的引导下自主浅析、自主构建，这对提高学生的思维能力是非常的.而在理由解决的中，黄老师十分对学生的独到见解评价，告诉学生其的策略教学论文特点是，有何启发性，运用到了哪些数学思想，为何探讨受阻，理由的根源是等.点评，学生总结规律，推动初中语文教学论文学生举一反
三、触类旁通，这对学生形成解题的经验、提高解题能力有的影响.
四、总结归纳
总结归纳是一节复习课的升华.怎样优化知识结构、掌握解题策略教学论文、感悟数学思想、形成知识网络，教师引导学生归纳、总结，学生形成知识经验.本节课黄老师的总结了三个层面的理由解决：
一是理由7，引导学生归纳本节课教学的核心内容，并作了补充、完善，它：知识点的内涵、外延，探讨所运用到的数学思想策略教学论文，本节课的“亮点”所在，学存活在的理由等.
二是总结归纳知识网络.黄老师将学生的个体归纳与全体归纳相，让学生既有思维的独立又有的借鉴，易于理解、记忆和掌握.
三是强化抽象、的.学生的自主归纳带有很强的局限性和不完整性，及时引导和纠正，将完整的知识系统和数学思想策略教学论文呈现给学生，这对培养学生思维的全面性和深刻性有的作用.
综合来看，黄老师在这节课“理由导学”分四个层面：（1）让学生观察浅析三个式子（来自课本例题、习题、高考题），探讨它们之间的联系——怎样变化而来？（2）引导学生浅析典型例题（2006年高考题），探讨例题与这三个式子的联系：形式上、策略教学论文上有何区别与联系，让学生抽象出本质的东西——数学的思想策略教学论文；（3）让学生反思解例题所引发的深思小学英语教学论文、启迪；（4）引导学生运用总结提炼的思想策略教学论文对其他理由探寻、引申.这四个理由学生学习困惑，在“最近进展区”之中，且与课本密切.解决理由的不偏离知识、技能、策略教学论文，又激活转化能力，深化思维要求，学生学习情绪十分高涨.既了以解决学生认知上的难点为主线，又推动初中语文教学论文学生高思维训练的教学风格，正是黄老师“理由导学”教学思想的，一名数学老师追求的境界.
(责任编辑 金 铃）
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