试议线性线性等式约束下线性模型中BLU估计稳健性

摘要研究了线性等式约束下线性模型中BLU估计关于协方差的稳健性，得到了在协方差发生变化时，条件可估函数c′β的条件BLU估计具有稳健性的充要条件.
关键词线性等式约束； BLU估计；条件可估函数；稳健性
中图分类号O 21

2.2文献标识号A

1引言及定义
线性模型中参数的估计及其稳健性是学术界十分关注的一个问题.近几十年来，这方面的理论和应用研究无论是在广度和深度方面都有了长足的发展.随着可估函数的引入和广义逆矩阵的应用，线性模型的研究范围得到了空前的拓展.文献研究了线性等式约束下一般线性模型及多元线性模型中参数的条件最优线性无偏（条件BLU）估计，文献研究了线性等式约束下一般生长曲线模型参数的BLU估计，文献[3]中讨论了一般线性模型下的LS估计的稳健性.文献[4]研究了最小二乘估计关于误差分布的稳健性，文献[5]研究论了含有随机效应的生长曲线模型的稳健性.本文我们研究线性等式约束条件下BLU估计的稳健性，得到了任意条件可估函数的条件BLU估计具有稳健性的充要条件.
考虑带有等式约束的一般线性模型：
这里y为n维的随机向量，β为p维的参数向量， X为n×p阶的设计阵， e为随机误差向量，σ2是未知参数， L为s×p已知矩阵， V为已知的非负定矩阵.
定义1模型（1）中参数向量β的线性函数ρ= c′β为条件可估的，如果存在b，使得E（b′y） = c′β对一切满足条件Lβ= 0下的β成立.同时，称b′y为c′β的条件无偏估计.
在下文中，μ（A）表示由矩阵A的列向量生成的空间； NL= I？L+L，其中L+为L的MoorePenrose广义逆；μ⊥（A）表示μ（A）的正交补空间.
为证明下文的定理，本节先给出一些引理.
引理1c′β为模型（1）的条件可估函数的充要条件是c∈μ（X′...L′）.
这里b′y为零的任一条件无偏估计，即E（b′y） = 0.
证明先证充分性.设l′y为c′β的任一条件无偏估计，则l可表示为l = a + b，对某个满足NLX′b = 0的b.于是
V ar（l′y） = V ar（a′y）+V ar（b′y）+2Cov（a′y，b′y），（3）源于：毕业生论文网www.618jyw.com
由（2）式充分性得证.
下面用反证法证明必要性.设a′y为c′β的条件BLU估计，假设存在一个b0，满足NLX′b0= 0，但Cov（a′y，b′0y） =γ？= 0，不妨设γ< 0.用b =λb0代替（3）式中的b，则（3）式的右端变为V ar（b′y）λ2+ 2γλ+ V ar（a′y），其为λ的二次三项式，且一次项系数为负数，故必存在λ0，使此二次三项式的前面两项之和取负值.取l0= a +λ0b0，则有V ar（l′0y） < V ar（a′y），这与a′y为条件BLU估计矛盾.引理得证.
参考文献
喻胜华.线性等式约束下奇异线性模型参数的条件BLU估计.数理统计与应用概率， 1997， 12（3）： 257-264.
梁小琳.线性等数约束下一般生长曲线模型参数阵的BLU估计.工程数学学报， 2004， 21（5）： 721-726.
[3]王松桂，史建红，尹素菊等.线性模型引论.北京：科学出版社， 2004.
[4]刘湘蓉.最小二乘估计关于误差分布的稳健性.应用概率统计， 2006， 22（4）： 429-437.
[5] Luo Youxi， Tian Maozai， Li Hanfang. A Note on Random Effects Growth Curve Models. Chinese Journal of Applied Probability and Statistics， 2012， 28（5）： 520-534.
[6] Rao C R. Linear statistical Inferences and its Applications， John Wiley， 1971.