分析角形浅谈解三角形

一、解三角形的重点

1.正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。
对于正弦定理，教材首先引导学生回忆初中对三角形的定性认识：任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式。如果∠A<∠B，由三角形的性质，a2.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形。应该注意，对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。
上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。
（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。
3.教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。
4.对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

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应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：
（1）已知两边和它们的夹角解三角形。
（2）已知三角形的三边解三角形。
教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。
6.正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及应用两个定理的方法等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。

二、与初中解三角形知识的联系

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”在初中我们学习了判定三角形全等的判定定理，当已知两角和其夹边时，可运用“角边角定理”判定两三角形全等；当已知两角和其一角对边时，可运用“角角边定理”判定两三角形全等；从而对三角形作出一个定性的判定，然而，正弦定理对此类问题却能够将边角作出准确的解决。在初中数学判定两三角形全等的问题中，当遇到“已知两边和其一边的对角”，我们无法判定两三角形全等；但是，正弦定理却可以完整的解决三角形的边与角。由此，可以看出正弦定理是初中证明三角形全等定理的进一步深化。在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”另外，在初中“已知两三角形的三条边分别相等”，根据判定三角形全等的“边边边定理”可以判定两三角形全等。而运用余弦定理却可以精确计算出三角形的三个角。初中数学中，求解三角形，我们只能放在直角三角形中，运用勾股定理进行求解。而余弦定理不但可以求解直角三角形，而且可以解决锐角三角形，钝角三角形。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。从上可知，余弦定理是勾股定理的推广。”