简论导数例谈利用导数与函数交汇理由

函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重，充分显示了函数与导数的主干知识地位．导数为研究函数的性质提供了简单有效的方法．利用导数研究与函数相关的问题，通常有规范的方法，利用导数研究函数的性质，如单调性、对称性、极值、最值等，具有较强的可操作性．

一、利用导数的几何意义研究函数间的距离等问题

函数y=f（x）在点x０处的导数f　′（x０）表示曲线y=f（x）在该点处切线的斜率．如果曲线y=f（x）在点x０处可导，则曲线y=f（x）在点（x０，f　′（x０））处的切线与法线的方程为：y－y０=f　′（x０）（x－x０）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定义：曲线C上的点到直线ｌ　的距离的最小值称为曲线C到直线ｌ的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线ｌ：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋（y＋4）2＝2到直线ｌ：y＝x的距离，则实数a＝______________．
【评析】
导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y＝f（x）的切线，并进一步将导数融合到函数与平面几何的交汇问题中．

二、利用导数研究函数与线性规划交汇的问题

线性规划除解决实际问题外，它还能“以形助数”把抽象的符号语言转化为直观的图形语言，并借助“形”的几何直观性来阐明“数”的抽象性，因而兼有数的抽象和形的直观，从而体现了数学的应用性、工具性特点．
例2.（2012年高考陕西卷理，14）设函数f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤０，　Ｄ是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（１，０）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在Ｄ上的最大值为　．
【评析】
本题以分段函数为载体，利用导数求切线方程、简单线性规划问题，考查综合应用知识解决问题的能力．

三、利用导数研究函数与方程（零点）交汇的问题

利用导数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型，其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函数f（x）＝axsinx-■（a∈Ｒ）且在［１，■］上的最大值为■．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）判断函数f（x）在（０，π）内的零点个数，并加以证明．
【分析】
当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．
【评析】
给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．

四、利用导数研究函数与数列交汇的问题

数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题比用传统方法更为简便.在解决导数背景下的数列问题时，充分利用函数性质和目标式的结构特点，仔细观察，大胆尝试，就一定能找到数列与函数式之间的联系，为成功解题找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x２＋■与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）当0【分析】
本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．
【评析】
本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．

五、利用导数研究函数与不等式交汇的问题

证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式．
例5．（2012年高考辽宁卷文，21）设f（x）＝lnx+■-1，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜■（x－１）；
（Ⅱ）当１＜x＜３时，f（x）＜■.
【分析】
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不等式构造函数，讨论其单调性、最值，从而达到证明不等式的目的．
【评析】
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的不等式通过构造函数转化为f（x）>0（或f（x）<0），再通过求f（x）的最值，实现对不等式证明，导数应用为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性．
由上可知，导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点，它是一种有力的工具，可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大（小）值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的捷径，成为沟通函数与线性规划、方程零点、不等式、数列、平面几何等问题的一座桥梁.我们要意识到导数工具的重要性，多下工夫进行突破，为今后的深入学习与研究打下坚实的基础．
（作者单位　福建省安溪第八中学）