谈导数简析导数不足中构造辅助函数常用办法

导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.

一、作差法（直接构造法）

这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.
例

1.设x∈R，求证ex≥1+x

构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当x<0时，f ′ （x）f （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x
例

2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x

以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）
令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.

二、先去分母再作差

有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.
例

3.x>1，求证■<■

分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0

三、先分离参数再构造

例

4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=

-x2+ax-3
（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.
分析：（1）略 （2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，
∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.
令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，
所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4
（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.
原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■
则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.

四、从条件特征入手构造函数证明

例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：af （a）>bf （b）
分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.

五、由高等数学中的结论构造

利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.
f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…
当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1
例

6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1

分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），
f ′ （x）>0
当x∈（1，+∞），f ′ （x）<0，f （x）≤f （1）=0 ∴lnx≤x-1
lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）
迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n
∴an≤2n-1
例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.
（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；
（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1
分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，
故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.
令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
则h ′ （x）=1-■=■，
当x≥2时，h ′ （x）≥0，故源于：大学生毕业论文www.618jyw.com
，h （x）在[2，+∞）上单调递增，
因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.
故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-

1.即f （x）≤x-

另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1
由以上极限不难得出，当x>0时，
sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.
（作者单位 杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系 关键：黑龙江省大庆市第四中学）
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