试论因子关于n和n+1最大素因子经典

更新时间:2023-12-28 点赞:4272 浏览:11719 作者:用户投稿原创标记本站原创

【摘 要】n和n+1的最大素因子已经被证明这两者并不接近。在对这个结论进行了进一步的论证与完善之后,又对n和n+1的最大素因子这两者之间存在的关系进行了论述与明确。
【关键词】素因子 微分 函数
1674-4810(2013)28-0050-02
如果n是一个正整数,且n≥2。设P(n)为n的最大素因子。在1978年,Paul Edros和Carl Pomernance发表了一篇关于n和n+1的最大素因子的著名论文,他们证明了:n和n+1的最大素因子这两者并不接近。定理内容如下:
定理1:对于任意ε>0,存在δ>0,使得对于充分大的x,满足n≤x且x-δ在下面的定理中,我们确定了ε和δ之间的关系:
定理2:对于任意0<δ<1/83,满足n≤x且x-δ/P(n+1)其中E和A为独立常数。
我们采用了Paul Edros和Carl Pomernance的证明方法来证明了我们的结论。
首先我们先介绍一个著名的函数ψ(x,y),其定义如下:
定义:对于任意x>0,y>0,函数ψ(x,y)表示满足:n≤x且n不存在大于y素因子这样条件的n个数。
关于ψ(x,y)有如下重要结论:
定理3:设ρ(u)为微分方程uρ'(u)=-ρ(u-1)(u>1)的一个连续解,且满足初始条件ρ(u)=1(0≤u源于:毕业生论文网www.618jyw.com
≤1)。也把这个函数称为Dickman-de Bruijn函数,则当x≥2,exp
≤x时,ψ(x,y)=xρ(u)
…(2),这里,ε为任意给定的正数。
对定理2的证明:
设,因此,对于充分大的x,
我们有:。
由定理3可以得出:
(3)
(4)
(5)
对于任意的n以及任意的0<α<1,如果n的最大素因子P(n)小于等于xα,也就等价于n不存在大于xα的素因子。
下面我们分如下几种情况进行讨论:
情形1:;
情形2:情形3:≤P(n)≤;
情形4:。
根据(3)式,我们知道对于充分大的x,在情形1下满
足(1)成立的n的个数最多为:。
现在我们利用Dickman-de Bruijn函数估计,有
。因此对于充分大的x, (6)
同理,在情形2下满足(1)成立的n的个数最多为:
(7)
≤x
,这里C为一个常数。
又因为Dickman-de Bruijn函数ρ(u)是可微分函数,
因此根据微分中值定理,得:
,这里,。
再根据(2),知:。因此:
。 (8)
下面我们来考虑情形2和情形3。现在假设n≤x且(1)式成立,根据Paul Edros和Carl Pomernance的证明方法,
我们有在情形3下(1)式成立的n的个数小于…
(9),且有在情形4下(1)式成立的n的个数小于
x<…(10)。这里,E=ξ(2)ξ(3)/ξ(6),A为独
立常数。
因此,根据(6)(8)(9)以及(10),得出n≤x且(1)
式成立的n的个数小于,又
因为,这就证明了我们定理(2)的结论。
参考文献
Erdos,paul and Pomerance,Carl,On the largest prime factors of and,Aequationes Math,1978(23):311~321
de Bruijn,N.G,On the number of positive integers and free of prime factors.Nederl.Acad.Wetensch.Proc.Ser.A,1951(54):50~60
〔责任编辑:高照〕
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