探讨漫谈漫谈数形结合在高中数学解题中运用

在高中数学中有一些习题，借助于数与形的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使解题思路的寻找或者问题的解决会更直观，更便捷.
使用数形结合思想处理习题，首先要学生了解“形”并培养学生对“形”有正确的掌握.数学中的形体现在以下几个方面：在解析几何中要熟悉方程与曲线的对应，特别是见到方程，能准确地画出图形，或至少应认识图形的大体特征.在立体几何中应熟练掌握基本图形，比如柱体有棱柱、圆柱，锥体中有棱锥、圆锥，台体中有棱台、圆台，还有长方体、正方体、正四面体、球体等，经常是出题的载体，因此能顺利地画出立体感强一些的直观图以及准确的截面图是关键，或者至少也能在已知图形中读出各种位置关系.在代数方面要熟悉数轴上的点与实数是一一对应的关系，熟练掌握基本函数的图像特征，例如一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是抛物线，幂函数中y=x-1的图像是一、三象限的双曲线，y=x的图像是直线，y=x2的图像是以原点为顶点，开口向上的抛物线，y=x3的图像关于原点对称，从左向右呈上升趋势，并且在一、三象限，y=x12的图像在第一象限，所有幂函数图像都过点（1，1）；指数函数、对数函数以及三角函数的图像都有各自的特征及画法，还有关键点，在平时的教学中有意识的去培养，使学生尽可能画出准确的图形.在平面向量中引入有向线段来表示向量，也使平面向量方面的习题可以用数形结合来解决.二元一次不等式组表示的区域的准确性对线性规划的最优解有直接的影响.因此对各种形的准确掌握是利用数形结合正确解决习题的关键.
培养学生对形有一定的掌握之后，还要明确哪类的习题可以用到数形结合，在立体几何与解析几何中图形的对应是非常明显的，画出图形寻求解题思路也很自然，重要的是对一些能用代数方法去解，但比较烦琐，用数形结合思想会更简单的题型做一下介绍.

一、在求集合的交集、并集、补集的运算中，可以借用数轴或韦恩图示来处理

例1 设全集U=R，集合A=（1，+∞），集合B=（-∞，2），则CU（A∩B）=（ ）.
解析 涉及数集的运算，画出数轴如图.
可求A∩B={x1二、把方程的根可以看成是两个函数的图像的交点问题来处理，特别是一些超越方程的根，直接去求解方程，在高中阶段是无法进行的，而借助于函数图像就把问题简化多了；把函数的零点看成函数的图像与x轴的交点来处理会非常清楚明了
例2 方程sinx=lgx有几个实根？
解析 在同一坐标系中画出函数y=sinx与函数y=lgx的图像，同时注意到当x=10时y=lg10=1恰好是函数y=sinx的最大值，从而可以观察到两个图像有三个交点，知方程
三、在三角函数中可以借助单位圆、三角函数图像处理一些习题，例如求函数单调区间、比较函数值大小、寻找三角不等式的解集、求角的取值范围等，有许多利用“形”可以很方便地得到问题的求解思路
例3 已知α∈π4，π2，比较sinα，cosα，tanα的大小.
解析 借助单位圆，利用利用三角函数线.如图，
四、巧妙利用平面向量的几何意义，可以使一些问题不用计算就可以得到解决，使问题大大简化
例4 若向量a与b的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，c=a+b，则有（ ）.
解析 由向量加法的几何意义知：
以a与b为邻边作平行四边形，如图，则共同始点的对角线那条向量就是c，很容易选出答案B.

五、其他方面可用到数形结合的类型题、求最值类的题

例5 若实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，那么yx的最大值是多少？
对于这一道题，有的同学看到（x摘自：学士论文www.618jyw.com
-2）2+y2=3符合三角换元形式，采用之后发现yx的式子既麻烦又无从下手，而有的同学采用数形结合，很快就得到解答.如图，设k=yx=y-0x-0，
则k就可以看成是圆上任意一点到原点的连线的斜率，
于是问题就转化为求直线斜率的最大值了.通过图示，发现过原点引圆在第一象限的切线OA的斜率最大，再通过几何知识就可以处理了.
又如，求函数f（x）=x2+4+（x-2）2+1的最小值.这也是一道看似简单实则不容易的习题，但若对几何中两点间距离公式熟悉的话，就可以看出
f（x）=（x-0）2+（0-2）2+（x-2）2+（0-1）2，于是问题就可以转化为在x轴上找一点P（x，0）到定点A（0，2），B（2，1）的距离和的最小值问题了，即求|PA|+|PB|的最小值，结合几何知识就可以解决.
从上面的例题中可以看出数形结合思想解题的优势所在，数形结合给人以深刻的感性认识，对于那些难于计算或者比较繁杂的习题只要画一个图形就可以一目了然，完全可以避免或减少计算，尤其是对那些不要求计算的标准化题目更为适用了.