探索定理关于任意随机变量序列强极限定理一个注记
更新时间：2024-03-09
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摘要主要说明两两NQD随机变量序列的一些收敛性质是任意随机变量序列的强极限定理的推论.关键词两两NQD随机变量序列；强极限定理； Jensen不等式
中图分类号O 21
关于随机变量序列的强极限定理已有很多经典结果（见[1， 2]）.在文献[3]中， Jardas等人证明了独立随机变量序列的一类强大数定律，推广了钟开莱的经典强大数定律（见[1， p.124]）.文献[4]中，刘文和杨卫国通过构造截尾停时以及鞅的方法研究了一类任意随机变量序列的强极限定理，推广了Chow的关于鞅差序列的强大数定律（见[2， p.35]）和钟开莱的强大数定律.文献[5]中，杨卫国又用上述方法独立研究了一类任意随机变量序列强大数定律，进一步推广了[4]以及Jardas[3]的结果.文献[6]中，杨卫国和李瑞用结尾法证明了两两NQD随机变量序列的强收敛性.在文献[7]中，吴群英证明了两两NQD随机变量序列的一类强极限定理.
本文主要就文献[5]及文献[6]和[7]的关系作一个说明，即文献[6]和[7]两两NQD随机变量序列中的强极限定理的结果是文献[5]任意随机变量序列的强极限定理的推论.当我们把Yang[5]中任意随机变量强极限定理的非零可料的随机变量序列{an，n≥1}特殊化，即取其为正实数序列；并且把随机序列条件期望的无穷级数和收敛变为相应的随机变量期望的无穷级数和收敛时，就得出一个新的结果.利用这个新的定理，我们自然就得到了[6]与[7]中的两两NQD随机变量序列的强极限定理的结果.值得我们注意的是，新的定理的条件比[6]与[7]中的条件要弱得多，这就为我们更好地应用大数定律提供了方便.下面我们先给出几个符号：设{Xn，Fn，n≥0}是概率空间（？，F，P）上的随机适应序列，其中{Fn，n≥0}为F上的σ？域流，即？n，有Fn？Fn+1， Xn∈Fn.
引理1[5]设{Xn，Fn，n≥0}是随机适应序列， {an，n≥1}为非0随机变量序列且an∈Fn？1.设φn： R+→R+的Borel函数，对αn≥0，βn≤1， Kn≥1， Mn≥1 （n≥1）有
再利用Kronecker引理，于是有（6）成立.
推论1[6，Theorem 2]设{Xn， n≥1}是两两NQD随机变量序列， {an， n≥1}为正实数列且an↑∞.设fn： R+→R+为非降的Borel函数，对pn> 2， n > 2满足：
Chung K L. A Course in probability Theory，seconded. New York： Academic Press， 1974.
Hall P， Heyde C C. Martingale Limit Theory and Its Application. New York： Academic Press， 1980.
[3] Jardas C， Pecaric J. A note on Chung’s strong law of large numbers. J Math Analysis Appl， 1988， 217： 328-334.
[4]刘文，杨卫国，张丽娜.关于任意随机变量序列的一类强极限定理.数学学报， 1997， 40（4）： 537-544.
[5] Yang W G. Strong limit theorems for arbitrary stochastic sequences. J Math Anal Appl， 2007， 326： 1444-1451.
[6] Li R， Yang W G. Strong convergence of pairwise NQD random sequences. J Math Anal Appl， 2008， 344： 741-747.
[7]吴群英.两两NQD列的收敛性质.数学学报， 2002， 45（3）： 617-624.
摘要主要说明两两NQD随机变量序列的一些收敛性质是任意随机变量序列的强极限定理的推论.关键词两两NQD随机变量序列；强极限定理； Jensen不等式
中图分类号O 21
1.4文献标识号A
1主要内容关于随机变量序列的强极限定理已有很多经典结果（见[1， 2]）.在文献[3]中， Jardas等人证明了独立随机变量序列的一类强大数定律，推广了钟开莱的经典强大数定律（见[1， p.124]）.文献[4]中，刘文和杨卫国通过构造截尾停时以及鞅的方法研究了一类任意随机变量序列的强极限定理，推广了Chow的关于鞅差序列的强大数定律（见[2， p.35]）和钟开莱的强大数定律.文献[5]中，杨卫国又用上述方法独立研究了一类任意随机变量序列强大数定律，进一步推广了[4]以及Jardas[3]的结果.文献[6]中，杨卫国和李瑞用结尾法证明了两两NQD随机变量序列的强收敛性.在文献[7]中，吴群英证明了两两NQD随机变量序列的一类强极限定理.
本文主要就文献[5]及文献[6]和[7]的关系作一个说明，即文献[6]和[7]两两NQD随机变量序列中的强极限定理的结果是文献[5]任意随机变量序列的强极限定理的推论.当我们把Yang[5]中任意随机变量强极限定理的非零可料的随机变量序列{an，n≥1}特殊化，即取其为正实数序列；并且把随机序列条件期望的无穷级数和收敛变为相应的随机变量期望的无穷级数和收敛时，就得出一个新的结果.利用这个新的定理，我们自然就得到了[6]与[7]中的两两NQD随机变量序列的强极限定理的结果.值得我们注意的是，新的定理的条件比[6]与[7]中的条件要弱得多，这就为我们更好地应用大数定律提供了方便.下面我们先给出几个符号：设{Xn，Fn，n≥0}是概率空间（？，F，P）上的随机适应序列，其中{Fn，n≥0}为F上的σ？域流，即？n，有Fn？Fn+1， Xn∈Fn.
引理1[5]设{Xn，Fn，n≥0}是随机适应序列， {an，n≥1}为非0随机变量序列且an∈Fn？1.设φn： R+→R+的Borel函数，对αn≥0，βn≤1， Kn≥1， Mn≥1 （n≥1）有
再利用Kronecker引理，于是有（6）成立.
推论1[6，Theorem 2]设{Xn， n≥1}是两两NQD随机变量序列， {an， n≥1}为正实数列且an↑∞.设fn： R+→R+为非降的Borel函数，对pn> 2， n > 2满足：
Chung K L. A Course in probability Theory，seconded. New York： Academic Press， 1974.
Hall P， Heyde C C. Martingale Limit Theory and Its Application. New York： Academic Press， 1980.
[3] Jardas C， Pecaric J. A note on Chung’s strong law of large numbers. J Math Analysis Appl， 1988， 217： 328-334.
[4]刘文，杨卫国，张丽娜.关于任意随机变量序列的一类强极限定理.数学学报， 1997， 40（4）： 537-544.
[5] Yang W G. Strong limit theorems for arbitrary stochastic sequences. J Math Anal Appl， 2007， 326： 1444-1451.
[6] Li R， Yang W G. Strong convergence of pairwise NQD random sequences. J Math Anal Appl， 2008， 344： 741-747.
[7]吴群英.两两NQD列的收敛性质.数学学报， 2002， 45（3）： 617-624.
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