浅析会儿让思绪飞一会儿

更新时间:2024-03-08 点赞:17820 浏览:80791 作者:用户投稿原创标记本站原创

遇到比较困难的问题,我们怎样寻求突破口,并尽力探寻出问题的本源呢?下面问题的解决思路或许能给你一些启发.
例如,函数f(x)=sinx-13-2cosx-2sinx(0≤x≤2π) 的值域是( ).
A.[-22,0] B.[-1,0]
C.[-2,0]D.[-3,0]
初看这题不好下手.于是,有的学生想到用导数这一攻无不克的“利器”.
解法1:
f′(x)=
cosx3-2cosx-2sinx-(sinx-1)123-2cosx-2sinx(2源于:党校毕业论文www.618jyw.com
sinx-2cosx)3-2cosx-2sinx
=2cosx-1-cos2x-sinxcosx+sinx(3-2cosx-2sinx)32
=(1-cosx)(-1+sinx+cosx)(3-2cosx-2sinx)32
由f′(x)=0,解得x=2kπ或x=π2+2kπ,k∈Z.
当x∈2kπ,π2+2kπ时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈π2+2kπ,2π+2kπ时,f′(x)>0,f(x)单调递减.
所以当x=2kπ时,fmin(x)=f(2kπ)=-1;
当x=π2+2kπ时,fmax(x)=fπ2+2kπ=0.
所以,f(x)∈[-1,0].
看到所求出的导数,我们能够感觉到,这恐怕不是本题的合理解法.或者说并非命题人的本意.作为选择题,我们不妨试试特殊解法.
解法2:由已知函数f(x)=sinx-13-2cosx-2sinx(0≤x≤2π).
令sinx=0,cosx=

1.得f(x)=-

可排除A.
再令f(x)=-2.
两边平方整理得,cosx=6-(sinx+1)24.
当sinx=-1时,cosx=32,不合题意.
可以排除C,D.
这一解法比较特殊,令f(x)=-2也不容易想到.若不是选择题,这一方法便不能用了.有没有一般性简便解法呢?
观察到函数式带根号,去根号!
解法3:f(x)=-(sinx-1)23-2sinx-2cosx .
研究t=(sinx-1)23-2cosx-2sinx的值域,由t=(sinx-1)2(sinx-1)2+(cosx-1)2,分子不小于0、分母恒大于0,t关于x是连续不间断的,分子不大于分母,且cosx=1时t=1,sinx=1时t=0,得t∈[0,1].
这里,求解函数t的值域的方法并不直接.
我们有必要分析的是,这么复杂的一个函数求值域问题,其函数是如何构造出来的呢?
重新观察原函数,f(x)=sinx-13-2cosx-2sinx
=-|sinx-1|3-2sinx-2cosx.
是否可以看出,它很像一个公式?
是的,很像点到直线的距离公式d=|Ax0+by0+c|A2+B2!哪个点?哪条直线呢?仔细比较两个式子,动手试一试.
解法4:先看另一个问题.如图1,已知:点P(1,0),直线l:(sinθ-1)x+(cosθ-1)y=0,求点P到直线l的距离.
解:d=|sinθ-1|(sinθ-1)2+(cosθ-1)2=|sinθ-1|3-2sinθ-2cosθ.
看清楚了么?
图1那个复杂的函数式是从这里来的,这应该就是本题问题的本源所在.
这样,由原来问题的几何意义,我们只要求出点P到直线l的距离的范围就可以了.
直线l过原点,斜率范围是(-∞,0],能比较方便地求出结果.
在学习过程中,如果我们不是简单地就题解题,而是努力探寻、挖掘出问题的本源,学习势必事半功倍!
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