研究教学改革复变函数与积分变换课程教学革新与实践

[摘 要] 针对复变函数与积分变换课程教学的现状和存在的问题，合理整合教学内容，讲好思想方法，贯彻直观性教学原则，加强启发式教学方法，加强与高等数学的衔接性，适当减轻学生记忆的压力，从而收到良好的教学效果。
[关键词] 复变函数；积分变换；教学改革与实践；启发式教学
[] A [文章编号] 1005-4634（2013）04-0092-04
0 引言
复变函数与积分变换是大学工科相关专业，尤其是机电类专业的必修基础课，它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等课程中有着广泛的应用。通过本课程的学习，可以使学生掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为后续专业课程的学习提供必要的数学基础，因此做好复变函数与积分变换的教学工作是十分重要的。本文分析该课程教学的现状和存在的问题，总结和提出几点教学改革的经验和体会，以期对提高该课程的教学效果提供有益借鉴。
1 复变函数与积分变换课程的教学现状及存在的问题
多年来，笔者一直在河北工业大学统招生（一本）和城市学院（三本）从事复变函数与积分变换的教学工作。在教学中发现，该门课程的不及格率相对较高，学生学习该门课程的畏难情绪很大，甚至将其称为大学“最难的数学课”。每次期末考试时都会发现一些学生得分较低，对一些重点教学内容、考试必考内容竟然一无所知，如求复变函数的可微点与解析点、求复变函数沿一个闭路的积分、用拉普拉斯变换解微分方程等。究其原因，有以下三点。
1）该课程理论性强，严密的数学推导过多，缺少直观性，缺少实际应用的背景，这使得教学内容枯燥，学生的学习积极性不高，特别是学习基础不好的同学，对该课程的学习望而生畏，甚至中途放弃。
2）该课程作为高等数学的后继课程，与高等数学的知识联系极其紧密，许多理论知识是实函数到复函数的推广，很多题目必须应用高等数学的知识才能完成，但许多学生对高数知识的掌握程度不能为学好该课程提供必要的基础，高数的相关知识记忆不深，这是学好该门课的一个主要困难。
3）该课程结论密集，需要记忆的结论和公式太多，有些公式不记住便不可能完成一些基本的问题，如一些常见函数在 处的泰勒展开式、一些常见函数的拉普拉斯变换；有些公式不好记忆，形式上容易混淆，如拉普拉斯变换的性质与傅里叶变换的性质等等。笔者经常发现学生在考试时将公式弄混，有的学生做考题时方法都对，只是应用的公式就差一个符号。目前河北工业大学将向量分析与场论、复变函数、积分变换做为一门课在同一学期开设，共64学时，该课程加上向量分析与场论必须记住的公式和结论，记忆的压力确实不小，要想记忆好这些公式和结论，必须依靠平时的日积月累，仅靠考前突击是不可能成功的。
学生学习复变函数与积分变换的实际情况，要求教师必须对该课程从教学内容和教学方法上进行适当的调整和改革，而任何改革必须从实际出发，因此要切实帮助学生掌握教学大纲规定的基本内容，使其在参加全校统一进行的期末考试时有更好的成绩，从而达到良好的教学效果。
2 教学改革的内容

2.1 整合教学内容，讲好思想方法

在教学中对教材《复变函数与积分变换》中的内容进行适当调整，主要是淡化数学推导，根据学生的实际水平和学时数，适当删减理论性较强的内容和方法雷同的繁琐定理证明，用宝贵的学时讲好重点内容，练好重点内容，真正消化重点内容，体会好课程内容的思想方法。例如，复变函数中级数部分的重点是“复数项级数和幂级数收敛圆的基本性质”、“泰勒级数和罗朗级数的求法”、“孤立奇点类型的判定和残数的求法”。 显然，其中的复函数项级数“一致收敛”的概念，不是复变函数中的教学重点，学生在高数中没有学习过实函数项级数“一致收敛”的概念，若直接讲解复函数项级数“一致收敛”的概念，就会成为“空中楼阁”，效果肯定不佳。因摘自：本科毕业论文结论www.618jyw.com
此，复变函数项级数“一致收敛”的相关结论可略去不讲，而幂级数在收敛圆内的性质可直接给出，后面定理证明中牵扯到“一致收敛”的，可略去不讲或简要说明一下方法即可。类似的，如柯西不等式、解析函数唯一性定理、拉普拉斯变换性质中的终值定理和初值定理、傅里叶变换中的相关函数和巴塞瓦尔定理、-函数的一些复杂的性质等均可略去不讲或做简要介绍。再如，教材中对常见函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换与傅里叶变换的性质以及两个变换中的卷积定理均给出了详细的证明和推导，不难看出这些证明和推导的方法都是由定义出发进行恒等变形，必要时进行变量代换，对累次积分进行积分交换次序，最后得到结论。因此，在讲解这些证明和推导时，可选择有代表性的内容细致讲解，方法雷同的证明和推导可适当删减或简单说明，重要的是帮助学生体会研究问题的思想方法。

2.2 贯彻直观性教学原则和加强启发式教学方法

直观性原则是指在教学中，通过教师语言的形象描述，引导学生借助已有的知识，直接观察所研究的事物，形成有关事物全貌的清晰表象。启发式教学方法是指教师在教学中，从学生的实际出发，采用多种方式，引导学生积极主动地思维。复变函数与积分变换内容抽象，充满了定义、定理和结论，众多的数学推导看上去数学符号一大堆，学生感到是在做数学游戏，普遍存在厌学情绪，课程的这种特点迫切需要抽象的问题能够有简单直观的解释，能结合图示的尽量结合图示，教学语言尽量通俗和直白，阐述问题力求简单和明了[3]。必须改变学生被动听讲的局面，让学生参加到教学活动中来，使学生在老师的启发下，通过思考教师提出的问题，一步一步地理解和接受所学的知识，从而增加学生学习的信心和兴趣。
例如，教材中有一个重要的结论“幂级数 收敛范围是一个圆域，称为幂级数的收敛圆，收敛圆半径 称为幂级数的收敛半径”。 教材中是应用高数的知识，通过做一个实系数的幂级数来证明此结论。事实上，在此结论前刚讲过阿贝尔定理，应用阿贝尔定理并参考文献，结合画图可简单直观地得出此结论。摘自：学年论文格式www.618jyw.com