谈创设创设“数形结合”情境训练学生思维活动

更新时间:2023-12-24 点赞:29855 浏览:134640 作者:用户投稿原创标记本站原创

【摘要】数形结合是初等数学和高等数学中十分重要的数学思想,又是一种常见的数学方法;数形结合包含“坐标法”、“以数辅形”、“以形助数”三个方面;通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象内容与具体形象的联系与转化;有利于开拓学生解题思路,发展学生思维.
【关键词】数形结合; 创设情境;思维活动
早在一百多年前,恩格斯曾对数学下了一个经典的定义“数学是研究现实中世界的数量关系和空间形式的科学”.而数与形是互相联系,也是可以相互转化的,把问题的数量关系转化为图形的性质问题,或者将图形的性质问题转化为数量关系问题,是数学活动中一种十分重要的思维策略,这种处理问题的思想就是数形结合的思想方法.这种通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实质上就是在解决数学问题时,使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象内容与具体形象的联系与转化,即学生理性认识过程是由表象的具体到思维的抽象,再由思维的抽象上升到思维的具体的过程.这正如著名数学家华罗庚先生所说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”
数形结合是初等数学和高等数学中十分重要的数学思想,又是一种常见的数学方法,对此数学教育者在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境,力图在这种结合中,寻找到解题的思想与方法,使一些题目的解决简洁明快,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径,同时又有利于开拓学生解题思路,发展学生思维.
“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种:
(1)将几何论证转化为代数计算的“坐标法(解析法)”;
(2)利用数(式)来研究形的“以数(式)辅形法”;
(3)利用形来研究数(式)的“以形助数(式)法”.
下面举例分别加以说明:

一、坐标法(解析法)

湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1(理科)“2.5曲线与方程”介绍:借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法,即借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满
足某种条件的点的集合或轨迹.
如:(2004上海,文理11) 教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.
答案用代数的方法研究图形的几何性质.

二、以数(式)辅形法

以数辅形就是把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究,借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的.

1.点A(1,2)与点B(3,5)到直线l的距离分别为2,3的直线有2条.

分析此题可引导学生利用圆与圆的关系及其公切线的条数的知识,作图立即可知有2条.再利用图形只改变AB的长度,再来判断其条数,或改变距离再判断,来锻炼学生的思维活动,达到举一反

三、开拓学生解题思路,培养学生的创新能力.

2.(2012年高考·福建卷·文21)如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py,(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线L与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.
证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
分析本题主要考查抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识,考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
评析以数论形是解析几何、坐标系与参数方程侧重的手段,圆锥曲线的各种性质通过它的代数方程等数量关系来研究.在思考问题时,以敏锐的感知迅速提取有效信息,进行“由此思彼”的联想,果断、简洁地解决问题,进而使思维的敏捷性得到培养. 如2011年高考福建卷·理1

7、21选(2),文18; 2012年高考福建卷·理19、21选(2),文21.

三、以形助数法

以形助数就是把数量关系转化为图形的性质来确定,借助形的生动和直观性来阐明数量之间的联系,即以形作为手段,数为目的.
如:求函数y=sinx2+cosx的值域.
一般的思路是:①把函数化为三角函数sin(x+φ)=2y1+y2(φ为辅助角).②利用正弦函数的有界性解不等式2y1+y2≤1.③解不等式得原函数的值域-33,33.此题同学们若用代数的知识计算求解,则不但花费4~5分钟而把学生的情绪搞得十分低下,倘若用如图所示数形结合,则学生的自信心立即增强,思维活跃起来,从而思维能力得到开发与锻炼.
分析由y=sinx2+cosx=sinx-0cosx-(-2),
其几何意义为过点(sinx,cosx)与点(-2,0)的直线的斜率,即求单位圆上任意一点与点(-2,0)源于:论文模板www.618jyw.com
连线的斜率的取值范围.
评析原本复杂枯燥的代数问题转变为富有思维弹性的几何问题,解决了繁琐计算,问题变得容易解决.用自己学过的知识,通过多方位观察、纵横联系、积极探索,培养自己的探索性精神和创造性思维.
数形结合不仅是一种求解数学问题的常用思想方法,而且对于培养学生的创新思维能力有着十分重要的作用.教师在教学中要积极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题,创设“数形结合”的情境,有目的、有计划地对学生实施思维训练,有利于提高数学教学质量,也有利于发展学生思维能力,从而全面提高学生的素质.
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