简论函数求函数最值常见策略要求

2095-3089（2013）17-0-02
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的常见方法，希望对广大读者有所帮助。
一、直接法
适用类型：从自变量的范围出发，推出的取值范围。
例1：求函数的值域。
解：因为，所以，
所以函数的值域为。
二、配方法
适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
例2：求函数的值域。
解：本题中含有二次函数可利用配方摘自：毕业论文选题www.618jyw.com
法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域（最值）时，遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

三、判别式法

适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。
例3：求函数的值域。
解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，
△
细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。
将分别代入检验得不符合方程，所以。

四、分离常数法

适用类型：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例4：求函数的值域。
解：因为，
所以，所以，
所以函数的值域为。
五、换元法
适用类型：即运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。
例5：求函数y=2x+的值域。
解：令t=（t≥0），则x=，因为y=-t+t+1=-（t-）+，所以，求得函数值域为（-∞，]。
而对于含的结构的函数，可利用三角代换，令x=，∈[0，]，或令x=，∈[-，]。
例6：求函数y=+的值域。
解：由于定义域为{x|-1≤x≤1}，可设x=，-≤t≤，
则原函数化为y=，y=sin（t+），因为-≤t≤所以-≤t+≤，-≤sin（t+）≤1，求得函数的值域为[-1，]。

六、数形结合法

适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
例7：求函数的值域.
解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点（2，3）到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆
连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线
和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：

七、反函数法

适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型，形如y=（a≠0）的函数的值域，均可使用反函数法。
例8：求函数y=（x≥-4）的值域。
解：由原式解出x，得x=，因为x≥-4，所以≥-4，即≥0，求得值域为（-∞，1）∪[，+∞）。
八、单调性法
适用类型：就是利用函数的单调性求其值域，先确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，再求出值域。
例9：求函数的值域。
解：，，∴都是增函数，故是减函数，因此当时，，又∵，∴。
九、求导数法
适用类型：当一个函数在其定义域上可导时，可以利用求导数法求定义域。先对函数求导，求出函数的最值，再确定函数的单调性，进而求出值域。
例10：求函数在定义域[0，2]上的值域。
解：=，令=0，化简为+=0.解得=-2（舍去），=1。当0≤x0，单调增加；当1十、利用均值不等式法
适用类型：就是利用a+b≥2（a，b>0）求函数的值域。使用均值不等式时要注意，“一正，二定，三相等”，即（1）a，b均为正数；（2）a+b或ab为定值；（3）当且仅当a=b时取“=”。这三个条件十分重要，任何一个不满足都不可以用均值不等式法。
例11：求函数y=的值域。
解：由于y==≤=
所以，0十

一、有界性法

适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。
例1

2、求函数的最大值。

解：根据二倍角余弦公式化简得
总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。
参考文献
高考总复习资料《名师伴你行》.
高考总复习资料《师说》.
[3]高考总复习资料《课堂新坐标》.
[4]高中数学课本第一册（上）.