试议融为“数”与“形”融为一体

华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”由此可见，数形结合思想在数学中的重要地位，它是数学思想方法的核心。在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利的，高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养，智力的开发，能力的增强，使教学收到事半功倍之效。

一、由数想形

所谓由数想形即利用数的计算来揭示几何形体的特征及它们之间的内源于：论文写法www.618jyw.com
在联系。根据数学问题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用几何图形的特征，规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系。在小学数学教学过程中对于不同的问题，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。
例1：讲数字3时，用3根小棒摆成三角形，讲4时，用4根小棒摆成正方形。这样处理，既有利于学生通过直观实物抽象出数字3和4，也有利于学生初步认识这些图形的某一特征（如三角形有三条边，正方形有四条边）。通过数形结合探索规律可以培养学生抽象概括的能力，发展思维的创造性。出题目时要注意多层次，以便于区分学生的不同思维水平。
（l）照下图的样子用小棒连着摆正方形。
□□ 摆2个用（ ）根
□□□ 摆3个用（ ）根
□□□□ 摆4个用（ ）根
（2）连着摆6个正方形，要用（ ）根小棒，写出算式。
（3）如果不数小棒，你能找出一般的计算公式吗？
此题有3个层次，第1小题是通过直观进行计算，第2小题离开直观进行计算，第3小题脱离具体计算概括公式。实验表明，学生的答案呈现不同的思维水平。例如，有的学生第2小题就做错了，有的学生第2题虽然做对，但不会在此基础上概括出一般计算公式。
一位教师出了这样一个题目：“某车间用一块长90分米、宽60分米的铁皮剪成半径是10分米的圆形铁片，该怎样下料才能使铁皮的利用率最高？”
结果多数学生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17个；部分学生通过画图（左下图）得到答案是12个；还有一部分学生通过操作（如右下图）得到答案是13个。
通过讨论，学生认识到最后一种方法利用率高，而第一种计算方法是脱离了实际。通过这样的问题使学生初步体会到在解决实际问题时绝不能生搬硬套所学的计算知识，还要注意对实际问题进行具体分析。

二、见形思数

“见形思数”的核心是将形的变化抽象为数学符号。某些有关几何图形性质的问题，可转化为数量关系的问题，借助代数运算、三角运算或向量运算，常可化难为易，获得简单易行的解题方案。
如，平行四边形的面积公式是根据长方形的面积公式出来的。教学时可分三步走，首先教学生用数方格的方法来学习求平行四边形的面积。接着引导学生操作，运用割补，平移的方法，把一个平行四边形转化为一个与它面积相等的长方形。然后通过观察思考分析推理，让学生找出长方形的长和宽与原平行四边形的底和高的关系，从而推导出平行四边形的面积计算公式。通过平移转化的方法把新知识转化为旧知识，以旧引新，使学生既学会了新知识又复习了旧知识。
众所周知，小学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。
中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几（少几）”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，设计了下面的图形：
结合图形，让学生说，有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说，有6个□，△的个数比□的4倍少2个；
接着，出示下面的问题：
（1）□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？算式：6×3+4=22个
（2）□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？算式：6×4-2=22个
比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的数。教学时不妨把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生更容易理解，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，皮球有多少个？”这题编得富有创造性，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。
解题经验告诉我们，当寻找解题思路发生困难时，不妨从数形结合的观点去探索；当解题过程的复杂运算使人望而生畏时，不妨从数形结合的观点去开拓新路；当需要检验结论正确时，不妨从数形结合的观点去验证，它常会给我们带来满意的效果。
数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。人们总是充分运用数形结合，数形转化的方法解决各种数学问题。
（作者单位：浙江省义乌市廿三里第二小学）