谈谈解题初中数学解题过程中“漏根”“漏值”理由

摘 要：在中考数学中预设陷阱已经不鲜见，考生也频频掉进陷阱，出题教师屡试不爽。其中，一题多解（根）问题就是其中一种题型，出题教师预设了让考试“漏根”“漏值”的陷阱，考生常常掉入陷阱，为了让教师及学生重视此题型，我对初中阶段常出现“漏根”“漏值”的几种情况进行了总结。
关键词：初中数学；漏根；漏值
一题多解问题是中学数学中的一种经典题型，是每次大考必出的题型。中学数学考试中没有多项选择题，而一题多解（根）问题其实就是多项选择题的变形，是多项选择题的有效补充。由于学生在分析一题多解（根）问题时对题目全局没有考虑透彻，导致“漏根”“漏值”。通过反思、总结，我认为在初中阶段主要有以下几个“点”会出现“漏根”“漏值”问题：

一、绝对值中的“漏根”“漏值”问题

此类问题关键点是某数绝对值为一个正数，则满足条件是解有两个，且互为相反数。即|x|=a则x=±a。
例1 若|x|=5，则x的值为：_______。
分析：这个题目有同学在做的过程中只考虑-5这个值，而漏了+5这个值，主要原因是对绝对值性质没有全面理解而造成的，我们在平时的教学和学习中只要对绝对值的性质全面理解该问题就能迎刃而解。
例2 在数轴上与表示“1”的点距离为3的点表示的数为：_______。
分析：本题型其实也是对绝对值的性质理解的问题，由于距离无方向，这样的点在1的左右两边各有一个，所以这样的点共有2个，而部分学生只考虑到1的右边这一点，而漏掉左边这一点，导致“漏根”“漏值”。如图可见，在1的左右各有一点分别为：-2和4。

二、圆中的“漏根”“漏值”问题

在圆中出现“漏根”“漏值”的情况比较多，主要是因为直线与圆、圆与圆的位置关系、圆周角等的多样性，导致“根”和“值”的多样性，如果对题目的把握没有总体观念，或总体观念不强，均会造成“漏根”、“漏值”。

1.同弦所对的圆周角中的“漏根”“漏值”情况。

同弦所对的圆周角分两种情况，在弦同侧及异侧（因为圆中一条弦把圆分成两段弧，每段弧都对着一个圆周角），它们是一组互补的角。
例3 在⊙O中，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB所对的圆周角为：_______。
分析：如图，大多数时候考生在解此题时只考虑到∠C，而忽略了∠D，导致“漏根”“漏值”。

2.两圆相切求圆心距的“漏根”“漏值”问题。

由于两圆相切分两种情况：外切与内切。而考生经常只考虑到其中一种。
例4 已知⊙O与⊙O′相切，它们的半径分别为3和6，则的圆心距为：_______。
分析：如图两圆相切分外切和内切两种情况：
情况一：两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，此时圆心距为3+6=9。
情况二：两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，此时圆心距为：6-3=3。
综上所述，⊙O与⊙O′的圆心距为9或3。此类题主要注意两圆相切分为相内切和相外切，如果题目没有指明是相外切还是相内切，一定要将两种都考虑进去，否则就会出现“漏根”“漏值”。

3.在同圆中求两条平行弦间的距离时的“漏根”“漏值”问题。

此类题型其主要分两条平行弦是在圆心同侧还是在圆心异侧两种情况，而考生经常只考虑其中一种情况。
例5 已知⊙O的两条平行弦长分别为6和8，圆的半径为5，求两弦的距离。
分析：圆中两条弦平行分两种情况：
情况一：当两平行弦在圆心同侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线，通过垂径定理及勾股定理可求得两弦的距离为：1。
情况二：当两平行弦在圆心异侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线，通过垂径定理及勾股定理可求得两弦的距离为：7。
此类型题在题目未给定两平行弦是否是在圆心的同侧或异侧，一定将两种情况均考虑进去，避免“漏根”、“漏值”。

4.圆中的其他“漏根”“漏值”情况。

已知一点到圆周的最长与最短距离求直径的“漏根”“漏值”情况。当已知点未给定在圆内还是圆外，需将两种情况均考虑进去。
例6 已知点A到的最长距离及最短距离分别为6和2，求的直径。
分析：由于点A未给定是在圆内还是在圆外，所以必须对点A分在圆内和圆外来考虑，否则将会出现“漏根”“漏值”情况。
对点A的位置进行分类后，易知⊙O的直径为：4或8。
已知圆半径及公共弦长，求圆心距时的“漏根”、“漏值”情况，此类题型主要注意是否指明两圆心是在公共弦的同侧及异侧，否则必须分两种情况进行考虑，不然就会出现“漏根”、“漏值”情况。
例7 已知两圆半径分别为6和8，公共弦长为10，求两圆的圆心距。
分析：本题没有指明圆心是在公共弦的同侧还是异侧，必须将两种情况考虑进去，而考试常常只考虑一种情况导致“漏根”“漏值”情况的发生。
本题分类后利用勾股定理不难得出结果。

三、三角形中的“漏根”“漏值”情况。

三角形中会出现“漏根”“漏值”的题型常见的有两类：一是等腰三角形中已知两边长求周长或已知一角求其余两角；二是直角三角形中已知两边求第三边。
类型一：等腰三角形中的“漏根”“漏值”问题
1.已知等腰三角形两边求第三边。由于没有指定已知这两边哪一边是腰，哪一边是底。所以要分两种情况来考虑，同时要注意三边长是否满足三角形三边之间的关系。
例8 已知等腰三角形两边长分别为4和7，求三角形周长。
分析：由于没有指定4和7哪一边是腰，所以分两种情况考虑。
当4为腰时，三边长分别为

4、7，满足三角形三边之间的关系，此时周长为15。

当7为腰时，三边长分别为

7、4，满足三角形三边之间的关系，此时周长为18。

例9 已知等腰三角形一个内角为70°，求此三角形的另外两个内角的度数。
分析：由于没有指定已知角是顶角还是底角，所以分两种情况进行考虑，并利用三角形的内角和为180°来求出结果。
情况一：当已知角为顶角时，三个内角分别为：70°、55°、55°。
情况二：当已知角为底角时，三个内角分别为：70°、70摘自：毕业论文范文www.618jyw.com
°、40°。
注意：当已知角大于或等于90°时，不能做底角，只能做顶角。
类型二：直角三角形中已知两边长，求第三边长。
由于没有指定已知两边均为直角边还是一边为直角边一边为斜边，所以必须分两种情况考虑，否则将出现“漏根”“漏值”情况。
例10 已知直角三角形两边长分别为3和4，求第三边长。
分析：本题中考生经常将3和4当直角边（因3、4、5这组勾股数的思维定势）来考虑，导致“漏根”“漏值”情况。其实题目中并没有给定已知边均为直角边还是一边为斜边一边为直角边。所以必须分两种情况进行考虑。
情况一：当已知边3和4均为直角边时，此时要求的第三边为斜边，根据勾股定理易得出第三边为5。
情况二：当已知边3为直角边，4为斜边是，此时要求的第三边为直角边，根据勾股定理不难得出第三边长为。
一题多解（值）问题是初中数学的一种经典题型，也是易错题型，对考生要求较高。在平时的教学中，我们教师要注意培养学生一题多解解题能力，培养学生对题目全局把握的思想，全面杜绝“漏根”“漏值”情况的发生。
（作者单位：1.云南省腾冲县第八中学 2.云南省腾冲县第一职业高级中学）