简论归纳法数学归纳法在中学数学教学中运用
更新时间：2024-03-27
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摘 要：数学归纳法作为一种数学证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n有关的初等代数问题，在高等代数、几何、离散数学、概率论甚至是物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出。在用数学归纳法证明以上问题时，不仅思路清晰，大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常奏效。
关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应
用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？
当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此
我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。
（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2
那么，当n=k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k
=（2k-1）2+8k
=4k2+4k+1
=（2k+1）2
=［2（k+1）-1］2
即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。
之一。这类问题涉及整除性的知识，如果a能被b整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项、去项进行“配凑”，使之能够获证。
例
（2）假设当n=k时，原命题成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，当n=k+1时，f（k+1）=5k+2·3k+1+1
=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k
=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4
=5f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二项4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n=k时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定式，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
通过以上只是想说明对于有关自然数的命题的证明。不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定式，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进
行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很
大的进步，对于它更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。深入探讨数学归纳法的相关性质，究竟何时使用归纳法何时不使用、中学数学归纳法还有哪些应用，还有待仔细研究和探索。
（作者单位 陕西西安徐杨初级中学）
关键词：数学归纳法；数学教学；证明；应用
数学归纳法是高中数学中一种常用的论证方法，它虽然有一定的局限性，只适用和正整数有关的命题，但它在中学数学中的作用是不可或缺的。因此，它不仅是高考数学的一个重要考点，也是一个难点。在看似简单易懂、形式固定的外表下，它却使得很多学生不能真正掌握，难以理解其内在实质。有些学生仅仅只是生硬地记忆和牵强地套用形式，没有真正体会到数学归纳法的核心思想。我们应该怎样理解数学归纳法，在高中数学中又有哪些方面的应
用呢？在哪些类型的题上使用可以更加方便？数学归纳法又有哪些局限性？我们应该怎样具体问题具体分析，更好地学习和利用数学归纳法呢？
当然，数学归纳法在很多时候也会使解题变得复杂繁琐，因此
我们要理解其实质，真正掌握正确运用数学归纳法的能力。下面我们来探讨一下数学归纳法在中学数学中的应用。
一、应用数学归纳法证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。例1.用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n∈N*）
证明：（1）当n=1时，左边=1=（2×1-1）=右边，等式成立。
（2）假设n=k时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）…（3k-2）=（2k-1）2
那么，当n=k+1时有
（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）
=［k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）］+8k
=（2k-1）2+8k
=4k2+4k+1
=（2k+1）2
=［2（k+1）-1］2
即当n=k+1时，等式也成立，对于任意正整数n，等式都成立。
二、应用数学归纳法证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。这类问题涉及整除性的知识，如果a能被b整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它们的和或差a±b也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项、去项进行“配凑”，使之能够获证。
例
2.证明f（n）=5n-1+2·3n+1能被8整除。
证明：（1）当n=1时，f（1）=50+2·31+1=8，显然能被8整除，命题成立。（2）假设当n=k时，原命题成立，即f（k）=5k-1+2·3k+1能被8整除，那么，当n=k+1时，f（k+1）=5k+2·3k+1+1
=5·5k-1+6·3k+1+4·3k-4·3k
=5·5k-1+10·3k+5-4·3k-1-4
=5f（k）-4（3k-1+1）
这里第一项由归纳假设能被8整除，第二项中3k-1是奇数，则3k-1+1是偶数。故第二项4（3k-1+1）能被8整除，由整除性质可知，它们的差也能被8整除，这就是说：当n=k时命题也成立。即原命题对所有自然数n都成立。
三、应用数学归纳法证明几何问题
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。有很多与正整数有关的几何问题，可以用数学归纳法证明，但在证明之前要找出规律，获得公论文下载中心www.618jyw.com式，而后才能应用数学归纳法证明结论。
需要指出，虽然数学归纳法是一种论证与自然数有关的命题的重要方法，但并非结论是自然数的函数的命题都适合用数学归纳法证明。有些题目应用数学归纳法进行证明，过程相当繁琐，尤其是由n=k到n=k+1的变化过程很多，不易操作。事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定式，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简。
通过以上只是想说明对于有关自然数的命题的证明。不一定都采用数学归纳法这一种方法而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法达到简化证明过程的目的。从另一个角度来讲也能克服学习中的思维定式，使知识融会贯通，灵活运用。
以上我们对数学归纳法的基本形式及在中学数学中和自然数函数有关的整式、不等式、整除问题和几何问题等一些常见题型中的应用做了简单的举例，并通过相应的例题对这几种方法进
行了解析，使学生对数学归纳法有了更进一步的了解。纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很
大的进步，对于它更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。深入探讨数学归纳法的相关性质，究竟何时使用归纳法何时不使用、中学数学归纳法还有哪些应用，还有待仔细研究和探索。
（作者单位 陕西西安徐杨初级中学）
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