试析实效加强理由设计，提高高三复习课实效研究生

在新课标背景下高三数学的复习应如何进行才能适应高考命题形式的变化，而正确地把握高考方向，提高复习的实效性是教师和学生都迫切需要解决的现实问题。本文结合笔者的教学实践，并通过一些实例分析，对新课标背景下高三数学复习课中的有效性谈一些想法。

一、加强基于概念辨析、易出错混淆的问题设计的有效性研究

高考试题，都离不开对基础知识和基本能力的考查，所以在复习时，要重视课本，尤其要重视重要概念、公式、法则的形成过程和例题的典型示范作用。复习中对学生易错或普遍存在的问题，要有针对性地设计相应的问题让学生去辨析。

1.概念辨析的问题设计

例1：已知 是（-∞，+∞）
上的减函数，那么a的取值范围是（ ）。
A、（0，1）B、（0， ）C、[ ， ）D、[ ，1）
分析与略解：很多学生只得到0必须保证7a-1≥0，从而导致错误。这个问题设计的目标指向十分明确，即函数单调性的本质。在复习中像这样的问题设计无疑是有效的。

2.公式应用的问题设计

例2：①设 ，则
f（n）=；②设 ，
则f（n）=。
分析与略解：在应用等比数列公式时，学生容易弄错的是项数以及公比是否等于1的讨论。

3.易出错、易混淆的问题设计

在数学中有很多叙述看似简单，但许多是学生容易混淆不易区别的，出现这样的情况要设计相应问题让学生对比感悟。比如曲线在某点处的切线与过某点的切线的区别，函数的定义域是A与函数在A上有意义的区别，恒成立与有解问题的区别等。
例3：已知两个函数 （其中k为实数）：①对任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；②存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；③对任意x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围；④若对于任意x1∈[-3，3]，总存在x2∈[-3，3]，使得g（x1）≤f（x2）成立，求k的取值范围；⑤若对于任意x1∈[-3，3]，总存在x2∈[-3，3]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求k的取值范围。
分析与略解：令 ，得出：①问题转化为x∈[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，故 ≥0，k≥45；②问题转化为x∈[-3，3]时，h（x）≥0有解，故 ≥0，k≥-7；③问题转化为x∈[-3，3]时， ≤≤-21 k≥141；④问题转化为x∈[-3，3]时，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，易得9≤k≤13；⑤ ≥ 。
设计此问题的目的在于区别恒成立与有解问题。这样的问题设计纠错效果好，而且是有效的。

二、加强基于构建完整的知识体系（纵向）的问题设计的有效性研究

新课标教材中知识体系被打乱，在高三复习时必须对知识重新整合，将之形成完整的知识体系，呈现给学生。复习时以问题串的形式，精心设计富有启发性“好的问题”帮助学生重构知识体系，加强纵向的联系。常见的问题变式有“一题多变”（类比、拓展、延伸）、“一题多用”、“多题归一”等。
问题：已知函数f（x）=x3-4x2+4x。①求f（x）的单调区间；②求f（x）的极值。
变式1：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，x∈[0， ]的最
大值与最小值。
设计意图：①求函数单调性；②求函数的极值；③求函数的最值。
变式2：已知函数f（x）=x3-4x2+ax在区间（1，2）上为减函数，且在区间（2，+∞）上为增函数，求实数a的值。
设计意图：明确x=2是函数的极小值点，a=4。
变式3：已知函数f（x）=x3-4x2+ax在区间（1，2）上为减函数，求实数a的范围。
设计意图：由已知函数单调性求参数的取值范围。f（x）=3摘自：毕业论文模板www.618jyw.com
x2-8x+a<0对x∈（1，2）恒成立，也就复习了二次函数的知识。
变式4：已知函数f（x）=4x3-4x2+4x，试证对任意的x1，
x2∈[0， ]，不等式 恒成立。
设计意图：考查化归与转化的思想，若函数f（x）在x∈[0，
]时的最大值为m，最小值为n，只须证明 即可。
变式5：已知函数f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x试求实数a取何值时，两函数的图象有且仅有三个公共点。
设计意图：考查函数与方程思想、数学结合思想、等价转化思想。此问题可转化为方程f（x）=g（x）有三个根，即h（x）
=x3-4x2+4x-a有三个根，由图像可知a∈[0， ]。
变式6：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2-16x-k（其中k为实数）。若对于任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范围。
设计意图：考查等价转化的思想、集合间的包含关系，函数的值域-8≤k≤11。在上例中从一个基本问题出发，通过变式将导数在研究函数中的应用作了较系统的复习，设计自然有效。在高三复习中尽可能地自己编写教学设计。

三、加强基于知识间的联系（横向）问题设计的有效性研究

高三复习不只是知识间的简单回顾，重要的是把学过的知识间的相互联系弄清楚，把以往所学知识综合起来，形成有机的整体，学会综合运用，提高分析和解决问题的能力。因此，复习时要合时机地提出有意义的“好的问题”以加强知识间的横向联系。现以向量在高三直线方程复习中的应用为例作简要的说明。在人教必修2中未涉及用向量来研究直线。在高三复习时，可以用向量的工具重新来审视它。比如用向量证明过两点的斜率公式，用向量来判断两直线垂直的充要条件，用向量来证明点到直线的距离等。学生学完平面向量和空间向量后，是明确直线的方向向量和法向量的，即直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的一个方向向量是（B，-A），法向量是（A，B），用它们来判定两直线位置关系显得自然而有效。这些问题的提出一方面可帮助学生回顾旧知，另一方面加强了向量与这部分知识间的联系。对过程性的知识有了进一步的把握，对培养综合解决问题的能力是有效的。

四、加强学生自主探究的问题设计的有效性研究

新课标倡导问题探究。在近年来的高考试题中，探究性试题倍受青睐，如2009年的福建试卷，它较好地考查了学生探究性、发展性的素养和进一步学习的潜能。因此，在高三的复习中创设具有实战性的问题情境，以问题为主线引导学生主动探究，建构知识，体验数学发现和构建的过程。从学生的已有认知结构出发，提出合理化问题，并选择符合教学目标的问题进行研究。例如在复习平面向量单元时，可提出以下问题：
例4：已知A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点且A、B、O不共线，那么如何用点A、B的坐标表示 AOB的面积？
分析与略解：由已知 =（x1，y1）， =（x2，y2），作
（y2，-x2），有 ， 是直线OB法向量， 在
上的投影的绝对值即为三角形的高，所以：
。
这个问题的设计是在学生思维的最近发展区，它容易形成认知的冲突，激活学生的思维。它既复习了向量的知识，又探讨了向量的应用，得到一个简洁的结论。
一个好的问题会引起学生的积极思考，一个好的设计会使复习事半功倍。在高三复习教学中一定要认真地设计问题，提高教学活动的针对性、目的性和有效性。