浅谈概念离散数学中联系概念教学：以具体归纳到抽象概念

摘要 关系是离散数学中的一个极其重要的概念，但离散数学中以笛卡尔积的子集作为关系的定义，概念相当抽象，学生难以理解。为了帮助学生理解关系的概念，通过从具体实例到抽象模型的演绎过程来讲解关系，对关系的教学进行有意义的探讨，实践中取得良好的效果。
关键词 离散数学；关系；笛卡尔积
1671—489X（2012）30—0094—02
离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业基础课程，它的主要研究对象是离散结构及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学基础及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。
然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而提高教学质量，是有关教师应该努力探讨和研究的。
本文主要探讨离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。
1 关系的重要性
关系是离散数学中用来刻画事物之间联系的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论基础的。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及关系模型，对于利用关系模型来进行数学建模尤其重要。
2 关系的定义及集合表示
定义1：（二元关系）假设A和B是两个集合，A与B的笛卡尔积A×B的一个子集合，叫做一个A到B的二元关系。
定义2：（多元关系）假设A1，A2，…An是n个集合，它们的笛卡尔积A1×A2×…×An的一个子集合，叫做一个A1，A2，…An间的一个n元关系[3]。
以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大距离，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联系起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？
现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联系，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。
【例1】四支球队a、b、c及d队，他们之间进行了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果——胜负关系：a胜b、b胜c、c胜a、d胜a、d胜b、d又胜了c。为了简单起见，用（a，b）来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}。这就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、c、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系——比赛胜负关系。
当用集合S表示4个队时，S={a，b，c，d}，那么胜负关系表{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}就是S与S的笛卡尔积S×S的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关摘自：写毕业论文经典的网站www.618jyw.com
系。
【例2】一个电话号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些电话号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些电话号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。如果用A表示所有有关的单位和人的集合，用B表示所有相关的电话号码的集合，简单地用（a，b）表示a的电话号码是b，其中a∈A，b∈B分别表示A中的一个元素（单位或者人）和B中的一个号码。那么所有这些有关的序对（a，b）就构成电话号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是A与B的笛卡尔积A×B的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是A×B的一个子集。
【例3】（学生、课程、成绩之间的关系）假设用集合A表示某大学计算机学院的所有学生，B集合表示计算机学院的所有课程，C集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成（张三，离散数学，95）。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合A、B、C的笛卡尔积A×B×C的一个子集。
以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系[4]。
3 抽象关系的具体解释
设集合A={a，b，c，d}，S={（a，b），（c，d）}，显然，那么根据定义1，S是A集合到A集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、c、d赋予具体的含义，分别表示成张三、李四、王五和赵个人，而（x，y）表示为x与y是朋友，那么二元关系S就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其他人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合A的人之间没有人有朋友关系。
当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比如说a=5、b=10、c=3、d=9，那么上面的关系S可以解释为集合A={5，10，3，9}中元素间的整除关系。
这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。
4 结论
综合上面所述，任何一个现实中的具体的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予具体的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的具体关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联系，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。
5 教学中的几点建议
1）离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，提高学生的学习兴趣和积极性。然后多举一些实际的例子，讲解从具体实例抽象到数学模型、数学概念的演绎过程，对学生学习理解抽象的数学概念，提高抽象思维能力是很有帮助的，同时对于学生以后学习数学建模也是很有用的。
2）鼓励学生自己举例，能够加深对知识的理解，同时提高学生应用知识的能力。
参考文献
屈婉玲，耿素云，张立昂.离散数学[M].2版.北京：清华大学出版社，2009.
Rosen K H. Discrete mathematics and Its Applications[M].4版.北京：机械工业出版社，2007.
[3]洪凡.离散数学基础[M].3版.武汉：华中科技大学出版社，2008.
[4]Simpson A. Discrete Mathematics by Example[M].McGraw—Hill High Education，2002.