向量,平面向量在解题中运用例说

更新时间:2024-02-02 点赞:11045 浏览:45774 作者:用户投稿原创标记本站原创

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一.向量是既有大小又有方向的量,它可以用有向线段表示,也可以用坐标表示,这样就赋予向量“数”与“形”的两重性,使它成为沟通代数、几何与三角函数的一种有力工具,同时,也是处理物理理由等的工具.下面是笔者以教学中归纳了平面向量在数学解题中的几种运用.
1 平面向量在函数不等式中的运用
运用平面向量解决函数与不等式的理由,是以函数和不等式为背景的一种向量描述.它需要掌握向量的概念及基本运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数”、“形”两重性解决理由.
例1 已知向量,
,函数
在区间上是增函数,求t的取值范围.
浅析 先利用向量的坐标运算求出函数( )f x,再通过探讨( )f x的单调性求的取值范围. t
∴=?+t+.
若( )f x在上是增函数,则在( 1上有,即,在( 1
x的图象是对称轴为
( 1 1)?,( 1)3 25g?= += 5
+∞,
( 1 1)?,
故的取值范围是[5.
t
)
yxxxx=+ +??+
的值域.
浅析 将原函数转化成两个向量的模的差,再利用|| | | ||||?≤?
∵,a b为不共线向量,
||| | 1
y∈?,
例3 已知a,是不相等的两个正数,求证:
.
浅析 构造向量的坐标形式,再利用向量数量积的性质:|||| ||?≤?
a ba b(其中向量共线时等号成立)便可以证明.证明 构造向量=()ab,a,()a a b b=,b,则由,b为不相等的两个正数可知向量,b不共线.此时有||
(+)()()aba b ab<++
2 平面向量在三角函数方面的运用
平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题
型为背景的一种向量描述.它需要根据向量的运算性质将向量理由转化为三角函数的相关知识来解答.
例4 (2008年高考福建卷·文17)已知向量
(sincos )AA
m n,
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求函数的值域.
浅析 利用向量的数量积公式以及三角函数的一些运算公式可以求得A的值,而且利用二次函数配策略教学论文可以求出函数的值域.
解 (1)由题意得?=,
由A为锐角得
?,.
3 平面向量在剖析几何中的运用
向量可以用坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的联系,这使平面向量成为解决剖析几何理由的有力工具.平面向量与剖析几何的整合,是以剖析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算将向量理由转化为坐标理由,进而利用直线和圆锥曲线的位置联系的相关知识来解决.
例5 已知,点
(02)
,A在x轴上,点在轴的正半轴,点在直线
(1)当A点在x轴上移动时,求动点的轨迹的方程; EF作轨迹的切线,,当
C
浅析 (1)用向量运算将A,B的坐标用点的坐标 jg
(2)利用切线的斜率是函数在该点处的导数值,以而写出两切线的斜率,再利用两切线垂直及韦达定理求解.
解 (1)设,
()
,,()APx y=? yx=+ ).
由于平面向量具有“数”与“形”的两重性,所以除了在数学解题中,有着广泛的运用之外,在物理力学等实际理由中也广泛运用着,这也体现了学科间的相互联系.



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