解题,中学数学解题中通解与巧解探析

摘要：列举实例，初步探讨了通解和巧解的联系——通解是巧解的，巧解是通解的升华，只谈通解不谈巧解，的解题教学就简单的模仿训练，会有变式更不会有革新；只谈巧解不谈通解，就如同空中楼阁，假象无实际作用小学数学教学论文.所以，在熟练掌握通解的上，才能逐渐形成巧解的直觉. 旨在学生开拓思维，形成变通，让学生体验由“通”到“巧”的思维.
词：解题；通解；巧解
G·波利亚在《数学的》序言中：“中学数学教学的首要任务加强解题训练”，“掌握数学就意味着解题”. 怎样才能算解题呢？是指掌握一般规律的策略教学论文（即通解），能理由浅析，触类旁通知识间的联系解决理由（即巧解）. 在中学数学解题教学中教师较一般解法，以做到稳中求胜，而在更多时候忽视了追求数学解题的更高境界，即追求数学思维的灵活性与变通性. 在中学解题教学中，应当适时的引导学生理由浅析，在掌握通法的寻求理由的特殊性与性的联系，以而训练学生的思维，使其感悟数学的精神. 下面的例子作探析.
例1f（x）=，a，b∈R+且a≠b，求证：f（a）－f（b）法一f（a）－f（b）=-=<=≤a－b.
得证.
法二构造双曲线y2－x2=1（y>0），由双曲线的几何作用小学数学教学论文：
对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2有<1，
所以f（a）－f（b）法三由a，b的对称性，不妨设a由构成三角形的条件AB?摇－AD?摇仍然成立.
法四令m=（1，a），n=（1，b）m－n=（0，a－b），（a≠b）m－n=a－b.又由构成三角形的条件m?摇－n?摇例2对任意的n∈N+， 求证：1+n<4.
法一
1+n=C+C·+…+C+…+C=1+n×+×1×1-+×1×1-×1-+…+×1×1-×1-×…×1-…+×1×<1+1+++…+=3－<

3. 得出1+n<

4.

法二·1+n=··1+n 剖析法一的思维较为常规，二项式展开式，再逐项缩放，使和式放为求解的和，即等比数列的前n-1项和. 整个求解的难点对×1×1－×1－×…×1－<×1×1×…×1<×1×××…×1，k∈Z） 的缩放，不易想到缩放为一等比数列. 而法二，则配凑再均值不等式的推广公式巧妙简洁地将理由解决，使原本很繁琐的证明整体的思想仅用便得以证明.
例3
解方程+=6.
法

一、移项得=6－，平方得x－6=－2；再平方化简求得x=±.

法二由等差数列的定义，将3看成和的等差中项，设公差为d，则有:
=3－d，①=3+d，②
再两根式相同，将方程①，②两边平方，再两式相减，解出d=x，代回①或②式，解得x= ±.
剖析诚然法二和法一究其本质是一样的，以思路角度来讲法二比起法一更具革新性，到等差数列的性质椭圆标准方程的化简启发，了对知识的迁移，了较高的思维价值，对解决有些更复杂的理由更具有价值.
例4已知cosα+2sinα=－，求tanα的值.?摇
法一
解方程组cosα+2sinα=-，sin2α+cos2α=1，
得cosα=－，sinα=－，
所以tanα=2.
法二令tanα=x，由题可知α是象限角，不妨设：π<α<.
构造直角三角形如图2所示：
则有：+2=
解得：x=2，即tanα=2.
法三由cosα+2sinα=－，可得+=－1，?摇?摇cos（α－β）=－1，tanβ=2，所以α－β=（2k+1）π，tanα=tanβ=2.
剖析法接三角恒等式联立方程组，解方程组结果，是常用策略教学论文，对思维的要求不高. ，二元二次方程组计算量，有时还会出现两个解的情况，讨论比较麻烦也出现计算性错误，具有的局限性. 法二则是回归到三角函数和直角三角形的联系中，勾股定理巧妙地将三角函数求值理由转化到代数式求值理由. ，策略教学论文带有特殊性，在使用时要角的范围，做题时要情况浅析. 法三，则是将等式右边化为特殊的三角函数值，常用的三角函数公式，巧妙地避开了对角的讨论，化简也方便，对于解决这一类理由行之的！
其实，只要细心地探讨每年高考数学试题，不难，高考试题中所考查的解题策略教学论文都在通法的范围内，但也不排除用巧法来解决理由. 通法的思想顺乎一般规律，其操作易于掌握，中下生欢迎它. 通法自然、流畅、易于理解，其思维本质是定式思维. 而巧法则是思维的升华，“在反复考虑理由，突然了巧妙的想法，头脑中掠过一道灵光，顿时豁然开朗，仿佛了太阳，有言语的快乐”培养了学生数学能力，增加了数学感觉. 所以在教学中强调的是：每个学生都掌握各类数学题的通法，但也要适度地掌握“特技”，提倡让学生们以通法的回顾和反思中，去自然地和提炼“巧法”. 这样既了思维铺垫，创设了思维情景、暴露了思维，培养了思维能力，又利于学生以大量烦琐的运算中解脱出来，优化学生的思维品质，培养学生的求简意识和革新能力.