向量,坐标,关注法向量运用,凸显坐标法价值

新教材以来，高考的立体几何大题，在考查常规解题策略教学论文的，更多地向量策略教学论文（基向量法、坐标法）在解题运用。坐标法（法向量的运用），以其理由（数量联系：空间角、空间距离）处理的简单化，而高考热点理由。预测，今后的高考中，还会继续法向量的运用价值，下面引例的剖析来体验它的运用。
1 引例（2005湖南）
如图１，已知ABCD是上、下底边长为2和6，高为的等腰梯形，将它的对称轴OO1折成直二面角，如图2。
(Ⅰ)证明：AC;
(Ⅱ)求二面角的大小。

1.1 解题浅析

题干给出直二面角和对称轴OO1，易知OO1⊥OB，OO1⊥OA，故显著的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、推理等的困扰，只需先求面O1AC与面OAC的法向量，再用公式计算便可。第(Ⅰ)问的作用证明O1B⊥面OAC，也就找到了法向量；面O1AC的法向量可与求得，解出后，对的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。

1.2 坐标法解题

(Ⅰ)证明：由题设知OO1⊥OA，OO1⊥OB，所以∠AOB是拆成的直二面角的平面角，即OA⊥OB。故O为原点，OA、OB、OO1所在直线为 ,如图，则各点的坐标是：
以而 所以
(Ⅱ)解：
由(Ⅰ） 的法向量。设 的法向量，由
取
设二面角，由〈〉，
所以〈〉= 即二面角 。
2 比较归纳，提炼策略教学论文
比较用向量的策略教学论文处理二面角的理由时，将传统求二面角理由时的三步曲：“找（作）－证－求”简化成了曲：“计算”，以形式看，简化了，似乎淡化了学生的空间想象能力，但实际，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加对学生革新能力的培养，了新课程标准要求和教育革新初中英语教学论文的精神。

2.1 坐标法求角和距离

是有显著或较为显著的建系条件，以而建立的空间直角坐标系——尽可能多地使空间的点在坐标轴或坐标平面内，正确表达已知点的坐标。在立体几何数量联系的理由解决中，法向量的运用使理由简单化，其难点掌握和运用法向量解决空间角和空间距离求法的常用 技艺与策略教学论文。法向量求解空间角和空间距离其策略教学论文技艺总结如下：
2.

1.1 法向量求线面角

方向向量法向量之间的夹角，则有(如图5)
地 II
计算公式为： ＝－

2.

1.2 法向量求二面角

设为，计算公式为： 。 2.

1.3 法向量求点面距离

如图8，点为平面外一点，点A为平面内的任意一点，平面的法向量为，过点P作平面的垂线PO，记 ，PA与法向量η的夹角为φ，距离计算公式为：＝。
2.

1.4 法向量求空间异面直线距离

法向量在距离除运用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，平行平面间的距离等。在策略教学论文上有其共性：其一，这三类距离都转化为点面间的距离；其二，异面直线的距离可用如下策略教学论文操作：在异面直线上各取上一点A、B，AB在上的射影长即为所求。为异面直线AD、BC公共垂直的方向向量，可由
其计算公式为：，其本质与求点面距离一致。
向量是新课程中引进的的解题工具而法向量又是向量工具一朵奇葩，解题策略教学论文新颖，思路清晰，想到，计算也较为简单，能使解题有起死回生的效果，，在学习中应的。

2.2 误区点拨，矫枉过正

在运用坐标法解题时，要防止下面两种误区：

2.1 正确区分二面角范围

运用向量法处理二面角理由时，可能会遇到二面角的大小理由，如本题中若取但依题意可知二面角为。二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角，所以在计算不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后计算取“相等角”或取“补角”。

2.2 区分所求角与应求角

向量法在处理线面角理由时，会遇到所求角与应求角的联系理由，在求完作，应求角的余角，应转化为正弦值
3 辐射迁移，解读高考

3.1 (2010全国理科卷)

如图10，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
解法一：常规解法略。
解法二：坐标法
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图11所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
由，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设 ，则 ，，设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由,得， ，故.令，则.由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,·n，故SE=2EB。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，故 ，得，又 ，故，得，向量与的夹角等于二面角 的平面角。
， 所以，二面角的大小为。

3.2 （2008年北京理科卷）

如图12，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
解法一：常规解法略。
解法二：坐标法
（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0), 所以，得AD⊥CE。
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°由CE=，得CF=又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，A（0，0，）作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|，故G[] 又， ，所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=，知二面角C-AD-E为arccos()。
文献：
《普通高中数学新课程标准》.
2005－2010年高考试题集.