论解法条件概率第三种解法理工

更新时间:2022-3-4 点赞:4566 浏览:12302 作者:用户投稿原创标记本站原创

条件概率的定义:一般地,设A、B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.课本绍了两种解法,即P(B|A)=n(AB)/n(A)和P(B|A)=P(AB)/P(A).
例:3张奖券中只有1张能,现分别由3名同学无放回地抽取,如果已经知道第一名同学没有抽到奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少?
如果三张奖券分别用X1,X2,Y表示,其中Y表示那张奖券,那么三名同学的结果共有六种可能:X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1,记C={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1},用A表示“第一名同学没有抽到奖券”,用B表示“最后一名同源于:论文 格式www.618jyw.com
学抽到奖券”.
课本解法一:AB表示“第一名同学没抽到奖券且最后一名同学抽到奖券”,包括X1X2Y和X2X1Y这2个事件,A包括X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1这4个事件,则P(B|A)=n(AB)/n(A)=1/2.
课本解法二:C包括了6个事件,P(AB)=n(AB)/n(C)=2/6,P(A)=n(A)/n(C)=4/6,P(B|A)=P(AB)/P(A)=1/2.
下面我们介绍第三种解法.
第一名同学既然没有抽到奖券,那么就只考虑剩下的两位同学和一张奖券,记为Y,一张非奖券,记为N.两位同学不放回地抽取,一共包括NY,YN这2个事件,则最后一名同学抽到奖券指NY这1个事件,概率为1/2.
显然,第三种解法更易理解。这种解法把条件概率P(B|A)表示为A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.
实际上,很多条件概率都可以用这里提到的第三种解法解题.如:
1.6名同学参加百米短跑比赛,赛场共有6条跑道。已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率是多少?
这题理解为既然甲在第一跑道,那剩下5名同学分别排在剩下的5条跑道,那乙要排在第二跑道,是全部的1/5.
2.10件产品中有3件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件.已知第一次抽出的是次品,则第二次也抽出次品的概率是多少?
这题理解为既然第一次抽出次品,那剩下2件次品和7件正品,第二次抽出次品是9件产品中的两件,为2/9.
3.盒中有9个球,其中4个白球,3个黄球,2个黑球,从盒子中任意取出1个球,已知它不是黑球,则它是黄球的概率是多少?
这题理解为既然不是黑球,则是3个黄球和2个黑球,那它是黄球是剩下的5个球中的3个,为3/5.
那是不是所有的条件概率都可以用这里介绍的第三种方法解题呢?再来看一道例题.
已知一个箱子中装有3个红球和2个黄球,一次摸出2个球,在已知它们的颜色相同的情况下,求该颜色是红色的概率?
解:记摸出的2个球颜色相同为事件A,摸出的2个球是红球为事件B,由于事件A发生的同时,事件B也可能发生,故用课本给出的条件概率定义解决:
n(AB)=n(B)=C32=3,n(A)=C32+C22=4
所以,P(B|A)=n(AB)/n(A)=3/4
这道题如果用第三种解法,显然不合适了.
由此得出:条件概率P(B|A)包括两种情形.第一种情形:事件A发生后,事件B才发生;第二种情形:事件A发生的同时,事件B也可能发生.这两种情形的共同点是事件A、B都发生.如果是第一种情形,则可采用上文所提的第三种解法;如是第二种情形,则只能采用课本绍的条件概率解法求解.
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