分析化数学课堂教学化离我们有多远生

【摘要】数学教育是发展学生正确的心智的一种能力，理应融数学知识、数学思想、数学方法、数学文化与人文精神于一体.表现在数学课堂教学过程中，立足于“问题导入的趣味性——知识生成的自然性——思考探究的独立性——思想方法的理解性——讨论空间的自由性——学习过程的自明性——质疑反思的批判性——深度研究的广阔性——优美结论的欣赏性”的创造性思维教学模式，落实于数学教育化的始终，使学生尽可能多地享受到数学学习与数学活动的幸福，达全面提升数学教育教学质量之目的.
【关键词】数学课堂教育化；九步教学模式；创造性思维；数学理性精神
【中图分类号】O12

2.2 G420

【基金项目】陕西省高等教育教学改革研究项目（11BY65）；陕西省教育厅科研计划项目资助（项目编号：11JK0512）；陕西省教育科学“十一五”规划课题（SGH10119，SGH12444）；商洛学院科研项目（09sky001，12SKY—FWDF012）；商洛学院重点教改项目（12jyjx109）

1.问题提出

教育质量的提高是基于教师良知的教育理想、教育方式和教育反思的实现，也就是我们永铭的话题：任何教育教学的改革与教育教学质量的提升，都离不开好教师，并且改革与质量更能凸现卓越教师的教育良知.然而，今日“教授老板化”并不鲜见，其主要表现为：授课时间少，专注于学术与授业之外的名与利，撬动教授们这样远离课堂的表象因素似乎是利益驱动，真正症结则在于学术与教学评价机制的乏力，甚或出现了为赢得学生的评教高分，不惜以漏题、监考不严等行为一味讨好学生，谋取暂时的荣耀，倘以疲于“市场”行为的师者，去“前导”其学生，结果自然不敢让人想象.难怪乎我们的学生参加“托福”、“雅思”等国际性考试，真是让中国人的颜面丢到了世界上.目前有良知教师怀念那极其艰苦的抗战时期的西南联大，教授授业之法与授业之道，成为影响与决定学生最终学业水准的重要条件，也正因教授们重视教授方法，才更加缅怀逝去的教授.他们头顶日本鬼子飞机的狂轰滥源于：毕业设计论文致谢www.618jyw.com
炸，脚踩弹坑，一边潜心专注于学术研究，一边又以极为“乐观”的姿态努力传授学业，不也给千秋万世留下了联大精神？
事实上，我们的数学教育教学存在着诸多功能性色彩、数学理性精神缺失与数学，走上了考什么，就教什么的路子，将一个好端端的对数学学习有兴趣且有余力的学生参与的数学竞赛，弄成了全民皆兵的捞钱工具，到了上上下下非批不可的令人痛心境地，缺失了为数学科学发展而教学与研究的理性质疑反思精神，导致大学数学专业生源质量下降，从而影响了数学专业毕业生的就业率，形成恶性循环，其症结是：一则过多的功利主义与非理性思想影响了部分数学教育工作者的价值观取向，大大削弱了其学术自由与教学研究的执着度.另则我们以形象工程与实用主义作为办学理念的指导思想，值得深刻反思，也到了该理性反省之时.鉴于此，本文将立足于最基本的数学课堂教学化思想，以案例分析的形式为出发点探讨数学教育化，实现尽可能多的学生享受到数学教育教学的幸福过程.

2.教学过程与教学策略

现以师范院校“初等数学研究”之“一元方程求解方法的研究”为教学案例，剖析创造性思维教学模式的过程.本案例虽略显得有繁难之嫌，但对学生数学知识的系统性理解、研究问题的基本方法和思维方式有一定的启发性作用，而且能很好地提升分析问题和解决实际问题的能力（如理性社会游戏规则的建立等）.
[趣味性开场白]同学们是否知道“懒人的数学”？它就是代数学.其实质是由于用代数方法研究数学问题或实际问题简洁明了罢了.我们已经知道通常意义下的代数学是将其理解为关于字母计算、关于由字母构成的公式的变换以及求解代数方程等的科学.
现在，我们就来共同探究“懒人”的代数方程求解吧！其实，它并不是“懒人”所做的.如意大利数学天才塔塔利亚（Tartaglin N.，约1499—1557）在1535年的一场数学擂台赛中遇到了一个挑战性问题：“一块蓝宝石卖了500金币，所得利润是其成本的立方根，求其利润.” 塔塔利亚先设利润若为x金币，则容易地建立了x所满足的方程式为x3+x=500，且迅速求解并获胜.他之所以能够大获全胜，是由于他以诗歌形式总结了上述缺二次项的三次方程求解的秘诀：“立方共诸物，和要写右边，巧设两个数，差值同右和；此法要牢记，再定两数积：诸物三之一，还把立方计；既知差与积，两数算容易，复求立方根，相减题答毕.”难道这是“懒人”的数学吗？
此外，还有很多丰富有趣的代数学发展故事，请同学们课外阅读.
[展示研究课题] 你们肯定掌握了方程中最简单的一元一次方程，理解了方程理论是从两个方面发展的，一是从一元发展到多元，二是从一次发展到高次，即方程分为：一元一次方程、一元n次方程、多元一次方程、多元高次方程.知道了所构成的多元方程组也是通过各种消元方法化归为一元方程求解的，即便是我们已经掌握了的分式方程、无理方程、超越方程求解，也是常常将其化归为代数方程求解的.由此可见，方程理论的基本问题就是一元代数方程的求解.今天，我们不妨来研究探索一元代数方程的求解这个基本问题，领悟所谓作为西方数学开始领先于东方数学标志性问题——一元三次方程的求根公式，甚或更高次方程求解的研究.
[问题的探究过程]同学们知道（注意整个教学过程是教师引导、启发，师生共同探究的过程，但因篇幅所限，以下略去了启发、探究等环节），（第1个问题）一元一次方程ax+b=0（a≠0），可化为ax+ba=0.如果令x+ba=y，则上式可化为ay=0，由于a≠0，所以y=0，即x+ba=0，也就是x=-ba（注：这是另一种一元一次方程的求解方法）.
上面求解一次方程的方法可看作是作代换x=y-ba，目的是得到一个不含常数项的方程ay=0，这样就可以由“若干个因式之积为零，其中至少有一个为零”而求得x的值. （第2个问题）我们再来看复系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），两边同除以a得到同解方程x2+bax+ca=0，配方法有x+b2a2-b24a2-ca=0，很明显，以上求解二次方程中所有的配方，可视为作代换x=y-b2a，得到了一个不含一次项的二次方程y2+p=0，可以通过开平方求得y的值.自然地，也可把这个方程看作是把方程左边的多项式y2+p进行因式分解，从而将方程降次为一次方程来解.
所以，上述这种通过代换x=y-ba使一次原方程缺常数项（视为缺方程的第二项），通过代换x=y-b2a使二次方程缺一次项（同样视为缺方程的第二项），从而把二次方程降次为一元方程来求解.
现在回到我们开始所提出的课题——三次、四次方程甚至更高次方程，是否同样可用代数方法给出优美的求根公式呢？答案如何，我们来耐心作答吧！首先，我们有如下猜想：
猜想1 由一次、二次方程的代换形式可猜测三次方程可有代换式x=y-b3a（x视为未知数，b3a视为第二项系数与最高次数乘以其系数的商），目的是可能得到一个缺第二项的三次方程，再设法降次.
猜想2 由于一次方程的根是用一个有理式表示的（也可视为一次方根），二次方程的根是用一个平方根表示的，从而可猜测三次方程的根可用两个立方根的和表示.
（第3个问题）如果三次方程为ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），两边同除以a得到通解方程x3+bax2+cax+da=0.用类比方法作代换x=y-b3a，可得到一个缺二次项的三次方程y3+py+q=0，其中p=-b23a2+ca，q=2b327a3-bc3a2+da.
这里类似于二次方程的根可用一个平方根表示，不妨设想缺二次项的三次方程的根同样可用两个立方根的和形式表示，即y=3u+3v，其中3u与3v分别表示u与v的一个立方根.反过来，对三次方程根的表示形式y=3u+3v两边同时立方并整体代入，再稍加整理即可得到y3-3（3u3v）x-（u+v）=0.这样，比较该方程与缺二次项的三次方程可得其相应的系数关系式3u3v=-p3与u+v=-q.若注意到uv=-p327，则自然构造出一个以u，v为二次方程z2+qz-p327=0的两根.
从而实现了三次方程降为二次方程，并容易求得z=-q2±q24+p327，这样我们就立刻得到方程y3+py+q=0的求解公式y=u+v，其中u=3-q2+q24+p327，
v=3-q2-q24+p327.
又因为立方根在复数域有三个值，所以u与v各有三个值，对上式y就有可能出现9种组合形式.若我们注意到3u·3v=-p3，则实际上只存在三种组合形式成为方程的三个根.这也从另一方面验证了代数基本定理是成立的（有兴趣的读者可参考文献[11]所提及的代数基本定理的明）.
[诱导学生继续探究]我们在上面的讨论中，并没有具体给出缺二次项三次方程根的表达式.事实上（启发、联想过程较为困难，与数学家们发现问题是一样的），我们知道1的三个立方根分别为1，ω，ω2，这里ω=-12+32i，ω2=-12-32i，则由3u与3v分别是u与v的一个立方根知：u与v的另外两个立方根分别为ω3u，ω23u与ω3v，ω23v.这样，就得到了缺二次项三次方程的三个根分别为y1=3u+3v，y2=ω3u+ω23v，
y3=ω23u+ω3v（同时指出这种组合形式必须满足u，v是二次方程z2+qz-p327=0的两根，且3u·3v=-p3）.因此，由代换关系式x=y-b3a及p=-b23a2+ca，
q=2b327a3-bc3a2+da，得到一元三次方程的三个根用其系数表示的形式.
[反思过程]以上我们利用系数明显地表示出了三次方程的三个根，并没有像二次方程求根公式那样优美漂亮.因而，在实际求三次方程的根时，往往不是化归为实数的开立方，而是对复数开立方，由此可见其在实际解题时的复杂性，所以实际解题时很少采用.（可提出：等待学生以后的深入学习将会有很多解决问题的方法）
[批判性提出新问题]上述虽然复杂繁难，但并不意味着问题解决的思想方法不可取.若如此可取，则我们一个自然而然的问题就是：一元四次方程的求解公式是否可采用上述思想方法得到呢？
[提出新问题解决的思想方法]由一次、二次、三次方程的解决方法可猜测：（1）用代换关系式x=y-b4a，是否可得到一个同样缺第二项的四次方程？（2）是否可用类比的方法设想四次方程的四个根是三个四次根式的和？开四次方怎样做？（3）如何实现降次为三次方程求解呢？并且指出：虽然问题的解决过程，可能再出现新的问题和困难之处，但方法总比困难多.
[继续提出新问题]是否受发现二次、三次、四次方程的求根公式的启发，你是否在梦想着甚至更高次方程的系数表达式呢？（在这里，如有兴趣可带有质疑批判的理性精神去阅读文献[13]）
[再生成新的研究课题]我们曾学习和讨论过一元一次方程与一元函数之间的内在联系，特别是较为系统地、深入地研究过二次方程和二次函数、二次三项式、二次不等式之间的区别与内在联系，从而明白它们之间的有机联系不再界限分明，知道了知识之间是完全可以对话的，同时在对话中可生成新的知识点和新的问题.这样，又极为自然地有以下合情合理的猜想：
猜想1 能否借助研究三次方程的方法讨论三次函数的性质？如对称性问题：是轴对称还是中心对称？是否为极值性问题？
猜想2 能否借助研究四次方程的方法继续讨论四次函数的性质？如对称性问题：是轴对称还是中心对称？能否以二次函数为鉴，自然猜测到成轴对称图像，但其充要条件是什么？
猜想3 有了三次、四次函数的一些性质，能否绕开讨论研究五次方程的尴尬情形，另辟蹊径地沿着三次、四次函数的研究方法讨论五次函数的性质呢？ 猜想4 如果研究五次函数的性质获得成功，那么是否可以继续研究一般高次函数的性质？怎样做？
[欣赏性] 我们虽然得到的结论并不算十分优美，但很多数学美蕴含其中，如自然美、复杂美、统一美、多样美、演绎与归纳美、形式美、内容美以及美的相对性与绝对性等.自然美才是真美，更令我们遐想无限.
[结束语] 如果我们能够再进一步思索的话，那么我们将会感悟到任何数学问题的研究都不会永远地结束！关于这一话题，因篇幅所限，我们将另文讨论.

3.案例反思

（1）数学教育教学理应成为融数学知识、数学文化与人文精神于一体，促使学生享受到数学学习的乐趣，有种燃烧之感，使人感动不已，由此感兴趣，致其形成志趣.我们从代数方程解发展略史出发，着手于趣味性问题的求解，感悟数学活力所在，从其解法的哲理性和新的思考方式，既享受到数学问题的思考乐趣和求解方法诗歌化的欣慰，又领悟了数学思想方法的精髓所在，更能体悟到了数学作为一种文化的人文精神.
（2）数学教育教学过程不仅是数学基础理论知识的传播与数学基本能力的培养，而且是数学思想、数学方法的渗透与掌握，更重要的是经历数学修养的全面提升，形成平等、、尊重、讨论、开放、对话、关心、倾听、科学的社会生存制度，使得我们的社会公平、与包容，在此，借鉴美国加州理工学院校训“通过教学与科研相结合，扩充人类知识和造福社会”来思考我们的数学教育化将十分有意义和有趣.
（3）数学教学过程只有体现以人为本的教学风格，体现着对所教育对象的理解与尊重，才能凸显数学教育的化.教学过程时时设身处地地不断反思，多为学生想想他们的思维受阻的原因，以条理清晰的逻辑思维方式使教学过程自然与简洁.如本案例从容易的一元一次与一元二次方程求解入手，分析其解法及根的表达形式，试着归纳猜测出合理的代换关系式，尝试着一元三次方程求解方法的可行性，使学生从发现一种数学思想方法或优美的数学论证中体会愉悦之情.
（4）在某种意义上讲，数学教育教学过程是理论、经验和反思的过程.事实上，反思往往被忽视，而且容易与批判性思维方式联系在一起，因为一提到批判性思维方式，就谈虎色变，似乎我们的所作所为都尽善尽美了，天下人的思维方式都是统一的.然而，无论何种方式、形式的反思或批判性思维，都能够起到完善思考、沟通的作用.因此，数学教学过程的反思或批判性思维方式或理性质疑是必要与可行的，是永恒的话题.如我们在教学过程中，卡当求法或塔塔利亚求法之外，能否再反思一下，是否存在其他形式的三次方程或恒等式，自然地类比联想到三角函数的正切三倍角公式、双曲正切函数或双曲余切函数的三倍角公式.想一想，做一做，可否再给出一元三次方程的另一种新解法呢？
（5）作为数学教育工作者的我们，完全有信心摘自：学士论文www.618jyw.com
和有能力能够使我们的数学课堂教学有更多的和活力，从而使学生能够享受到数学活动的快乐，如在教学过程中，恰如其分地讲述一些数学家发现数学思想方法、数学成果的轶闻趣事与数学发现的艰辛过程.
（6）之所以我们成为数学教师，是由于我们用数学理论知识来充实自己，用理念来支撑我们的数学课堂，不仅要在专业上是行家，还需通晓育人的艺术，而且更重要的是体现在记录自己的教学行为，观察自己的行为结果，反思自己的课程经验，进一步改进自己的教学方法，远离浮躁，恪尽职守，矢志不渝，终生精益求精于自己的教育事业，由此而产生与分享到数学教育教学的幸福.
（7）秉承数学课堂教学化与效率思想的信念，不断总结与改进自己的创造性教学模式：“问题导入的趣味性——知识生成的自然性——思考探究的独立性——思考方法的理解性——讨论空间的自由性——学习过程的自明性——质疑反思的批判性——深度探究的广阔性——优美结论的欣赏性”，有模式，但不拘于模式，最终走向无模式的自由教学之境界.
（8）我们承认，数学问题（特别是世界性难题）有难易之别，面对数学难题犹如一座高天入云的珠穆朗玛峰，一般不必要企图去征服它，但是，坐上飞机加之遇上晴空万里无云的朗朗天空，远远地瞥上一眼它那冰雪覆盖的美丽的山巅，不也是挺好挺美的？
（9）本案例虽然是基于非常美好的想法——数学的学、用、教、研的学习与探究——而言的，但是体现了数学学习与活动完全可以从自己已有的数学经验、数学知识起点，相应地学到最基本的数学理论与思想方法，由此产生理性化的思维方式，以质疑批判性与宽松自由性的学习氛围，形成化与理性化的社会.特别是我们数学教育工作者，更应以提升自我教育形态与学术形态相互转化的教育理念，促进我们的数学理解性教学， 这样，不仅使自己享受数学教育的理性过程与精神愉悦，而且使学生在数学学习中分享到无与伦比的快乐.
4.结 语
数学教育教学质量并非一朝一夕、开几个会、发几份文件所能提升的，而是由教师良知所致.一方面，源于宽松的化管理环境，另一方面源于教师的自由思想独立精神之境界，尽力所能及的兼入世出世心态专致力于自己的理想化职业，从数学教育教学的教学模式走向自由的创新性无模式天空，完成自己的神圣使命.