阐述推导多变量比例联系推导过程深思与改善学术

摘 要：在高中物理教学中，很多公式的推导涉及到多变量的比例关系，而有关变量关系的推导陈述偏于简单，缺少必要的严密性和逻辑性，往往让学习者不明所以。本文就这类多变量比例关系的推导的改进，浅谈自己的一些思考。
关键词：多变量；正比例关系；牛顿第二定律；万有引力定律；推导
1992-7711（2013）20-070-1

一、改进实验，让牛顿第二定律推导过程令人信服

牛顿运动定律在高中物理中的地位举足轻重，作为实验定律的牛顿第二定律，其教学的重点是实验设计，在完成实验得出正确结论后，再用数学方法进行推导。笔者长期从教高中物理，认为教材中的推导过程不能令人信服。
教材在本章第二节“实验：探究加速度与力、质量的关系”得到的实验结论“在m一定的情况下，a与F成正比；在F一定的情况下，a与1m成正比”的基础上，直接由aF以及a1m就得到了aFm，进而得到Fma，然后把比例式转换成等式F=kma，最后由量纲得到在F的单位取N，m的单位取kg，a的单位取m/s2的情况下，k=1。至此，牛顿第二定律的表达式F=ma推导完毕。
仔细琢磨，我们会产生疑问，而疑问就在于，从aF和a1m这两个正比例关系式，是否可以直接得到aFm这个正比例关系。从数学角度出发，由aF可得a=k1F（1），由a1m可得a=k21m（2）。那么我们把（1）（2）两式相乘可得a2=k1k2Fm（3），从（3）式中我们只可以得出a2Fm，而无法得到aFm。
在《自然哲学之数学原理》一书中，牛顿当年只在“运动的公理源于：论文www.618jyw.com
或定律”这一部分，直接提出了“定律Ⅱ”：“运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。如果某力产生一种运动，则加倍的力产生加倍的运动，三倍的力产生三倍的运动，无论这力是一次还是逐次施加的。而且如果物体原先是运动的，则它应加上原先的运动或是从中减去，这由它的方向与原先运动一致或相反来决定。如果它是斜向加入的，则它们之间有夹角，由二者的方向产生出新的复合运动。”不难看出，这段文字只是向我们阐述了牛顿第二定律的内容，并没有谈及推导的过程。
笔者反复思量，总觉得教科书中对牛顿第二定律的推导过程有稍许不妥，下面提出自己的一点修改建议。在实验的基础上，我们已经得到aF，那么利用数学知识可以得到a=k1F。而加速度a还与物体的质量有关，在已得到的关系式a=k1F的基础上，不难想到此处的“比例系数”k1必和m有关，k1必然是与物体质量有关的变量！

二、以理服人，再谈万有引力推导过程的思考与改进

在人教社《物理必修二》教材第六章第二节“太阳与行星间的引力”中对太阳与行星间的引力的关系FMmr2的推导中，笔者有着同样的疑问。
教材在这一节中首先通过行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力的表达式Fm=mr4π2T2（6）和开普勒第三定律R3T2=k（7），得到太阳对行星的引力F=4π2kmr2（8）。在（8）式中，等式的右边除了m、r以外，其余的量对任何行星来说都是相同的，都是常量，所以可以得到Fmr2（9）。
同理可以得到行星对太阳的引力F′Mr2（10），根据牛顿第三定律可知F=F′，即FMr2（11），最终由（9）式和（11）式得到太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即FMmr2。
这样的分析思路和在“牛顿第二定律”中的思路如出一辙，笔者认为同样有点不妥。我们在得到（11）式后，再对比（8）式不难发现在（8）式中F与M有关的只能是k，（11）式中的FM说明kM，这样得到FMmr2就显得顺理成章，让人信服。所以笔者建议在得出FMr2后，教材可以多设置一个问题：“太阳与行星的引力满足F=4π2kmr2，那么该式中常数k与什么有关呢？”在学生充分思考讨论的基础上，教师再做出总结。
以上仅为力学中两个比较典型的例子，类似的推导还有不少：如在库仑定律得出之前，库仑通过做实验得出力F与距离r的二次方成反比，即F1r2，后来就给出了电荷间的作用力与电荷量的关系：力F与q1和q2的乘积成正比，即Fq1q2，教材上阐述完这部分结论后，直接用一个公式来表示库仑定律，就是F=kq1q2r2（k是比例系数）；在导体电阻决定式推导中，由实验得到的结论是：同种材料的导体，其电阻R与它的长度l成正比，即Rl，与它的横截面积S成反比，即R1S，导体电阻还与构成它的材料有关，此处教材直接给出公式：R=ρlS（式中ρ是比例系数）。
从中我们可以发现，在高中物理教材中通过ab和ac得到abc这样的推导过程并不在少数，而这种推导方法并不是在任意情况下都成立的。在得到ab，即a=kb，那么只有当c与a的关系是包含在比例系数k之中（即kc）的前提下，我们才可以推导出结论abc。只有对这种特殊情况进行清楚的说明才可以让逻辑推理更加严谨合理，而教材对此皆是一带而过，并无任何解释和说明，这与学生脑中的数学知识体系形成了一定的冲突和矛盾，给他们理解物理公式的由来会带来一定的困难，教师可以根据学情对推导过程进行适当改进，让他们豁然开朗。