试述阻尼一类带阻尼项二阶Hamilton体系多重周期解

摘要利用临界点理论研究带阻尼项的二阶Hamilton系统周期解的存在性.在具有部分周期位势和线性增长非线性项时，根据广义鞍点定理定理，得到了系统多重周期解存在的充分条件.
关键词二阶Hamilton系统；线性增长；部分周期；周期解；临界点
中图分类号O 17

5.12文献标识号A

1引言与主要结果
考虑二阶Hamilton系统
对所有x = （x1，x2，···，xN）∈RN和a.e.t∈[0，T]成立.其中ki为整数， {ei}为RN中的标准基.
当（2）式中0≤r≤N时，称位势函数F（t，x）是部分周期的.
文献在具有部分周期位势和有界非线性项时，得到了以下定理：
定理1设存在g∈L1（0，T；R+），使得
2003年， Tang Chunlei在文中将有界非线性项推广到次线性非线性项，得到以下定理：
定理2设存在f，g∈L1（0，T；R+）及0≤α< 1，使得
|？F（t，x）|≤f（t）|x|α+ g（t），
对所有x∈RN和a.e.t∈[0，T]成立.设F满足（2）式， 0≤r≤N，且
对所有x∈span{er+1，er+2，···，eN}和a.e.t∈[0，T]成立.则系统（1）在Sobolev空间H1T中至少有r + 1个不同的周期解.
本文考虑带阻尼项的二阶Hamilton系统
定理4的证明下面用c表示常量，我们利用广义鞍点定理[5]来证明定理4.
第1步首先定义ψ： X×V 7→R为；ψ（π（u）） =φ（u），则ψ连续可微.
令{π（un）}是泛函ψ的（PS）序列，即{ψ（π（un））}有界，ψ′（π（un））→0（n→∞），则{φ（un）}有界，φ′（un）→0（n→∞），蕴含{un}有收敛子列.下面证明（PS）条件成立，先证{un}在H1T中有界.反设当n→∞时，∥un∥→∞.设{un}？H1T，使得
由反设{un}在H1T中有无界，当n→∞时，∥un∥→∞，由（13）式，当n→∞时，∥Pˉun∥→∞.令ε充分小，由（18）式有，当n→∞时，φ（un）→？∞，这与（8）式矛盾.故{un}在H1T中有界，由文献[6]命题

4.1知φ满足（PS）条件.

第2步根据广义鞍点定理，要证明定理4，我们仅需证明下面事实
（i） inf{ψ（π（u）） |π（u）∈Y×V } >？∞.
（ii）当|Px|→∞时，有ψ（π（x））→？∞，对π（Qx）一致成立，其中x∈RN.
先证（i）
对π（u）∈Y×V ， u = Qˉu +？u，类似于（16）式的证明，有
参考文献
Wu Xingping. Periodic Solution of nonautomous second order system with bounded nonlinearity. J Math Anal Appl， 1999， 230： 135-141.
Tang Chunlei. A note on Periodic solutions of second order systems. Proc Amer Math Soc， 2003， 132： 1295-1393.
[3] Zhang Xingyong， Tang Xianhua. Periodic solutions for an p-Laplaci源于：论文参考文献标准格式www.618jyw.com
an system. Taiwanese Journal of Mathematics， 2011， 3：1369-1396.
[4] Tang Xianhua， Xiao Li. Homoclinic solutions for a class of second order Hamiltonian systems. Nonlinear Anal， 2009， 71（3）： 1140-1151.
[5] Liu Jiaquan. A generalized saddle point theorem. J Differential Equations， 1989， 82： 372-385.
[6] Mawhin J， Willem M. Critical point theory and Hamiltonian systems. New York： Springer-Verlag， 1989.