浅析探究不足探究为轴试述概念形成自然

摘 要：数学概念是数学基础知识的核心. 脱离了数学概念，便无法构成数学思想和数学方法. 而概念教学的核心是将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以丰富的实例为载体，引导学生观察、分析并归纳得出数学概念；而在数学教学课堂上实现这一核心的途径通常是问题探究教学法. 本文以笔者在全国的一堂展示课为例展示了“问题探究为轴，概念形成自然”的教学设计，旨在与广大同行交流.
关键词：数学概念；概念教学；问题探究
2012年底笔者有幸参加了“第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”，该活动意在推动我国高中数学教学研究与改革，提高青年数学教师的专业水平和教学能力，鼓励青年数学教师树立先进的数学教育思想，创新教学模式和教学方法. 笔者在该活动中执教“任意角的三角函数”第一课时（湘教版），并荣获一等奖. 本文记录了笔者在准备过程中的一些肤浅分析和感悟，有些观点授益于重庆育才中学的资深教师和重庆市教科院的专家，在此深表感谢.
对教材的理解

1. 教学内容分析

任意角三角函数是在学习了指数函数和对数函数之后的另一新的函数模型，我们可以用函数的概念去帮助学生理解任意角三角函数. 对于学生的学习来说，这是一个下位迁移的过程. 此外，学生已有的锐角三角函数概念又为学生学习任意角三角函数奠定了基础. 对于学生的学习来说，这是一个上位迁移的过程.
但是，锐角三角函数的对应关系不能直接推广为任意角三角函数的对应关系，而需要做一定的铺垫. 如何铺垫才能使教学过程自然顺畅，使学生顺理成章地接受任意角三角函数的概念，就成为本节课教学设计中需要解决的关键问题.

2. 教学目标分析

三角函数是基本的初等函数，是描述周期现象的数学模型. “任意角三角函数的定义”是在学生初中数学已经学习过“锐角三角函数”、高中进一步学习“用集合与对应的语言刻画函数”，并且刚刚“了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化”的基础上来进行学习的内容. 因此，本节课的教学知识属于典型的“数学概念学习”课.
作为“任意角三角函数的概念”的第一节课，结合学生实际，利用坐标的比值定义三角函数，并进一步理解任意角三角函数的定义，是本节课的重点，也是难点. 要实现这个目标需要设计、提供适当的平台，让学生感受到在角的概念的扩展背景下，锐角三角函数概念扩展的必要性.

3. 学生学情分析

学生已有的知识基础是函数的概念、锐角三角函数、角的概念已经从周角推广到了任意大小的角等. 但在初中数学里对锐角三角函数更多地强调的是锐角源于：论文提纲格式www.618jyw.com
三角函数值，至于锐角与其三角函数值之间的对应关系所刻画的函数关系，在教材中体现得并不充分，这将对任意角三角函数概念的提出形成制约. 我们需要提供平台，帮助学生理解三角函数的实质即为函数关系.

4. 教学方法分析

结合本节课的概念性特征，教学中注重以“发现法”教学为主，问题探究为轴，创设情境，引导学生自主探索，合作探究，努力让每一位学生参与到新概念的发生发展过程中去. 同时，辅以“小先生制”教学，组织学生自己上台教同学，加强学生间思维的交流与碰撞.
对于探究课，笔者不主张课前预习. 因此，本堂课是在学生没有预习的情况下，以生活中的水车问题切入课题，用“发现式教学法”二次引发学生的认知冲突，激发了学习兴趣.
教学过程

1. 情景引入（第一次引发认知冲突）

如图1所展示的图片是中国古代农业灌溉的重要工具——水车，至今已有1700余年历史. 现在它更多地以一种风景点缀着我们的生活. 其实，在这种一圈圈转动的运动形式背后，蕴涵了丰富的数学内涵.
引例：
如图2，半径为1的水车中心O到水面的距离为h0=0.9，点P和点O在同一水平线上，当点P逆时针旋转α时，点P离水面的距离H是多少？比如，α=时，H为多少？α=呢？
设计意图：对于α=，是否有三角函数？怎么定义？怎么计算？引发第一次认知冲突，初步激发学习兴趣.

2. 复习锐角三角函数（进一步引发认知冲突）

提问1：请大家回顾一下，锐角α的正弦、余弦和正切分别是如何定义的？
（注）：教师根据情况启发学生：初中数学里锐角三角函数是在什么背景下定义的？（在直角三角形中定义），如何构造直角三角形？
图3
设计意图：由于从“锐角三角函数”到“任意角三角函数”是一个上位迁移的过程，因此回顾和加深对锐角三角函数的理解显得十分必要.
探究1：角α的三角函数值与所取的点P在终边的位置有关系吗？（无关）为什么？
提问2：（同步动画演示）当角α终边从第一象限转动到第二象限时，如α=时，图3中的MP，OM，OP还分别是角α的对边、邻边、斜边吗？α还是直角三角形的一个内角吗？这说明了什么？
设计意图：通过几何画板让学生感受当角推广到第二象限乃至任意角的情况时初中定义的局限性，引发第二次认知冲突.通过一次又一次的认知上冲突，让学生带着强烈的获取新知的迫切需要，充分激发学生的学习兴趣.

3. 探究锐角三角函数值的坐标表示及其推广

探究2：不妨先回到锐角的情况，能否找到某种新的方式来重新定义锐角的三角函数值，使得它既与初中的定义吻合，又能推广到刚才所说的第二象限角，乃至任意角？
（注）：教师可以根据情况启发学生，直至学生探究出合理的数量表示，比如点P的坐标.
（1）直角三角形的边MP，OM，OP还有没有其他的数量可以表示？
（2）注意直角坐标系的背景下可以考虑什么数量来帮助我们研究？
下面我们利用点P的坐标来表示锐角α的三角函数值（学生探究、书写） 图4
设P（x，y），sinα=；cosα=；tanα=.
提问3：如果按这种方式用坐标表示角的三角函数值，在锐角取值范围内和之前的定义吻合吗？能推广到刚才所说的第二象限角，乃至任意角吗？
设计意图：引导学生理解此种表示方式不仅可以表示锐角的三角函数，也能表示任意角的三角函数，不再面临前面所述的局限性.
为了简化，令r=OP=，定义角α的正弦值、余弦值、正切值分别为：
sinα=，cosα=，tanα=.

4. 任意角的三角函数

探究3：通过前面的学习我们已经知道了锐角α的三角函数值和点P的位置无关. 如果角α是任意角呢，其三角函数值与点P位置有关吗？
设计意图：让学生明白任意角α的三角函数值与点P的位置无关，只与角α有关.
探究4：既然角α的三角函数值与点P的位置无关，只与角α有关.
那么对任意给定的每一个角α，都有唯一的sinα，cosα，tanα与之对应？为什么？
设计意图：引导学生分析sinα，cosα，tanα的定义域，从而得出任意角三角函数的定义
三角函数定义： “对任意给定的一个角α，有唯一的比值（即正弦值sinα）与之对应”.

5. 知识应用

例1 已知角α终边经过点P（4，-3），求角α的正弦、余弦、正切函数值.
例2 求π，的正弦、余弦、正切函数值.
例3 本节课情景引入中提出的水车问题，其中sin是多少？
练习：计算出下列角的三角函数值.你能从中得出什么结论？
sin，sin
-，sin.
结论：与角α终边相同的角的同一三角函数值相等. 三角函数是研究周期现象的重要数学模型.

6. 小结（学生总结回答）

7. 课外探究

试探讨如何利用单位圆确定一个角α的正弦、余弦、正切函数值？
8. 作业
课本（湘教版数学第二册16页练习第1、2题）
几点认识和反思

1. 对概念教学的认识

人教社章建跃曾说过：概念教学的核心是将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察，抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念. 因此，目前很多教师舍源于：硕士论文www.618jyw.com
不得在概念、原理的发生发展过程上花时间，给学生吃“压缩饼干”，概念课用“一个定义，三项注意”几分钟讲完后就用解题教学巩固这种轻过程重结果的教学方法是杀鸡取卵式的有违目前的新课程理念.
“没有过程=没有思想”，数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中. “思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁，没有思想就难以理解概念的实质. 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣；而“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤.
没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激—反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现.
因此对于概念课，笔者认为重点应该是让学生参与定义的过程，让学生体会到概念发生发展过程，而不是教概念本身或者应用概念. 本节课也是基于这一基本认识并结合湘教版教材的教学体系而设计的以“问题探究为轴”让学生感受“概念形成自然”.

2. 对本节课的几点反思

（1）教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”. 其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”. 因此，高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫.
（2）引入方面，水车问题虽然是生活中一个任意角问题，但是课堂上耗时过多，并且与本节课任意角三角函数的定义联系不大. 或许可以尝试直接引入“上节课我们学习了任意角，这节课我们接着学习任意角的三角函数”
（3）为什么要在直角坐标系中来研究三角函数？这个问题笔者在上课时回避掉了，直接在直角坐标系中给出的锐角，回顾初中知识也是直接在坐标系中进行的. 其实在回顾初中锐角三角函数后，教师可尝试这样引导学生：“由初中定义可看出，直角三角形是定义三角函数的一个背景，但是角的取值范围推广到任意角后，这个背景显然不够用了，能否寻找一个新的背景来研究任意角的三角函数？”由于之前任意角的概念本就是在直角坐标系中给出的，所以学生应该很自然能够想到直角坐标系.
（4）从“边的比例到坐标的比例”这个过程应该花更多的时间更充分地让学生去探究摸索，并且在学生探究出坐标定义后应该让学生比较坐标定义相对于边定义的优越性，除了坐标定义适用范围更广之外，它还是数与形的完美结合且计算方便. 这些应让学生慢慢理解体会，从而进一步感受这样定义的合理性.
总结
张景中院士把学数学比作吃核桃，作为教师，笔者认为需要做的不是直接把核桃砸开让学生吃，而是应该教会学生如何砸核桃. 对于概念教学，从数学教学的长远利益出发，培养学生的思维能力需要广大一线教师不仅要让学生知道“是什么”，还要明白“为什么”，在课堂上以“问题探究为轴”，让学生理解“概念形成自然”而不是天上掉下的林妹妹来得突然.