浅议代换巧用变量代换

【摘要】变量代换法可以将高等数学中不能直接求解的问题转化成容易解决的问题，并对其应用进行总结，理顺解题思路，提高解题能力.
【关键词】高等数学；变量代换；应用
【】B
变量代换法不仅是一种非常有效的解题方法，也是一种重要的解题技巧，尤其是处理一些比较复杂的问题，效果显著.合理采用代换可以提炼题目包含的信息，显现其本质，疏导量与量之间的相关性，对发现解题思路，优化解题过程有着重要的作用.

一、变量代换的应用

通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科，主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程等.变量代换法可以对极限、微积分、级数、常微分方程等不能直接求解的问题运用变量代换，显现题目本质.也就是变换题目中的量与量，化繁为简，化难为易，将比较困难的问题转化成容易解决的问题.

1.变量代换在函数中的应用

巧用变量代换法化简函数表达式、求解函数值等问题.
例1已知f（xn）=lnx，求f（e）.
解由于题中函数表达式不是我们习惯的形式，可先把函数表达式化为我们习惯的形式，根据题意，不妨设xn=e，则x=e1n.从而有f（xn）=f（e）=lne1n=1n.

2.变量代换在极限运算中的应用

（1）在求函数极限的问题中，经常用到两个重要极限，即limx→0sinxx=1和limx→∞1+1xx=e，有很多函数都可通过变量代换转换成两个重要极限的形式，从而求极限.
（2）对某些无理根式，巧用变量代换使其化为有理式，从而求解.
（3）二元及多元函数求极限可作变量代换，转化为一元函数求出极限.

3.变量代换在求导中的应用

（1）对比较复杂的函数，尤其是复合函数求导
设函数y=f（μ）在μ点可导，函数y=g（x）在x点可导，则y=f[g（x）]在x点可导，且dydx=dydμ·dμdx=f′（μ）g′（x）.
（2）对隐函数求导
由方程F（x，y）=0确定的函数求导，需方程两边同时对x求导，注意y是x的函数.
（3）对积分上限类函数求导
例2求F（x）=∫x31e4tdt的导数.

4.变量代换在积分中的应用

换元积分法的基本思想就是用一个新的变量代换某个表达式，或用某个表达式代换变量，从而使被积函数转化为新变量的、容易求积分的被积函数.换元积分法常见的有凑微分、根式代换、三角代换等.
（1）凑微分.也叫第一换元积分，使用第一换元积分的关键在于被积函数存在导数关系.其基本思路为：∫f[g（x）]g′（x）dx=μ=g（x）∫f（μ）dμ.
例3求∫2xex2dx.
（2）根式代换
根式代换是指积分表达式中含有无理根式的代换.
（3）三角代换
三角代换是指积分表达式中含有x2+a2，x2-a2，a2-x2等形式的代换.

5.变量代换在微分方程中的应用

在常微分方程中，许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的，下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究.
（1）齐次方程dydx=φyx
通过变量代换u=yx化为以u为未知函数的可分离变量方程.
（2）高阶微分方程y″=f（x，y′）
通过变量代换u=y′，将原方程化为两个一阶微分方程求解.
例4求方程2xy′y″=1+y′2的通解.
二、结论
本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用，充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法.它不仅是一种重要的解题技巧，也是一种重要的数学思维方法.正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解，起到事半功倍的作用.
当然，尽管变量代换法是一个应用很广的数学方法，但并不是所有的问题都可以用该方法来解决，在做题的时候一定要谨慎.总之，我们应当不断地总结经验，提高根据不同问题正确恰当地使用变量代换法解决问题的能力，不能盲目地、草率地使用该方法，避免出现错误.
【参考文献】
毛海勤.浅谈变量代换在高等数学的应用[J].数学学习与研究，2010（23）.
谢凤艳.在高等数学中如何巧用变量代换法求解.硅谷，201

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