试论高中数学高中数学古典概型中编号理由

摘 要：解决古典概型问题的关键是找出事件A包含的基本事件个数以及基本事件的总数，在抛掷硬币或抛掷或摸球试验中，学生中常常出现基本事件个数不易判断的问题，如果能够理解编号问题的实质，并把他应用到解决古典概型乃至排列组合和随机变量的分布列的问题中，一些易混淆的问题会迎刃而解。
关键词：古典概型 编号 抛掷 抛掷硬币
在古典概型的教学中，对于抛掷两枚硬币和两枚所包含的基本事件总数时，对于先编号的方法，很多老师讲课时都是一代而过，也没有给学生充足的时间理解和分析，导致学生不能把握编号的本质，为今后的排列和组合等相关知识的学习埋下隐患。
学好概率的关键是明确概率模型。古典概型是我们遇到的基本概率模型，古典概型有两个重要特征：
（1）每个基本事件的发生都是等可能的；
（2）所有的基本事件只有有限个。
一个模型只有满足这两个特征时，才能用下面的计算随机事件的概率公式：
这是把握古典概型问题的关键。但是在教学中，不能让学生机械的套用这两条特征，而应该给学生充分的时间理解和把握他的本质。
例如，在处理古典概型的问题中，我们常常会碰到这样一个问题：
同时抛两枚质地均匀的硬币，求两枚都正面向上的概率。
这是一道常见而且很简单的题目，老师在教学中也常常给学生分析为：解决该题的关键是将样本空间看成{正正、正反、反反}还是看成{正正、正反、反正、反反}。我们知道实际上每枚硬币的每个面向上是等可能的，因此一号硬币正面和二号硬币反面和一号硬币反面和二号硬币正面是不同的两个基本事件，所以样本空间应看成是{正正、正反、反正、反反}，概率应为P（A）=
对于这样的解释，表面看来毫无问题，学生可能一时也觉得很有道理，似乎也没什么疑问，然而仔细挖掘起来，这里还有很多细节问题没有搞清楚：首先，两枚硬币为什么要编号？不编号的情况跟编号的情况比较起来，有哪些不同？这里为什么一定要用等可能的四种结果{正正、正反、反正、反反}来处源于：论文结论www.618jyw.com
理，换成{正正、正反、反反}为什么不行？类似的还有：同时掷出两个，不分先后，为什么不是21种结果而是36个？显然，这样的疑问也常常存在于学生之中。如果对于以上问题没有探究清楚，今后的问题还会层出不穷。
我们不妨先从以上几个问题入手来研究编号问题。
（1）两枚硬币为什么要编号，编号的前后结果会有所不同吗？
显然，给硬币编上一号和二号，并不会影响硬币本身的均匀程度，对于硬币完全没有影响，对于抛掷后出现的随机事件个数也不会产生任何影响。如果还感到不解的话，不妨假设两枚硬币为黑白两色，并且除了颜色不同外，两枚硬币没有其他任何不同，那么抛掷后的结果按照先黑后白的顺序应该为{正正、正反、反正、反反}四种情况，并且每种情况的出现都是等可能的，概率都为。编号或者是涂色以后的随机事件个数与编号之前随机事件的个数完全相同，此时，我们只要研究编号或者涂色后的情况就可以了。
对于{正正、正反、反反}的这种说法不能把所有的基本事件列举出来，“正反”是指“一号硬币出现正面，二号硬币出现反面”，总体上少列举了一种情况“反正”，即“一号硬币出现反面，二号硬币出现正面”。如果把“正反”和“反正”看成是同一种情况来处理的话，他发生的概率是，与另外两个随机事件出现的概率是不同的，因此不能套用古典概型的公式，导致问题无法处理。
对于以上问题，有的老师解释说有“同时”这个字眼出现时就意味着两枚硬币要编号，其实并没有把问题的本质解释清楚，因此当有些问题中题干表述直接说“掷两个质地均匀的，问多少种情况？” 回答结果依然是36种，而不是21种时，学生就会感到疑惑重重，事实上，与抛掷两枚硬币一样，可以给两枚编号，或者涂成红绿两色，对于试验结果毫无影响，继而研究编号或者涂色后的情况，与题干中的情况是完全相同的，显然，对于（1，2）和（2，1）应该看成是两种情况即：（1，2）是一号出现1点，二号出现2点；（2，1）是一号出现2点，二号出现1点，他们是完全不同的两种情况，因此，基本事件总说是36种，而不是21种。
有了以上的分析，学生也就不难理解其他的一些问法了，如“先后”抛掷一枚质地均匀的，或者是“依次” 抛掷两枚质地均匀的，这样的问法下不必再编号或者涂色了，“先后”、“依次”就相当于把编号了，显然（1，2）和（2，1）是两种不同的情况。
弄清楚了以上问题的本质，对于今后排列组合的学习也大有帮助。例如碰到这样的问题：口袋装有4个红球和3个黄球，从中摸出两个球，（1）共有多少种不同的方法？（2）其中，取到一个红球和一个黄球的概率是多少？
在没弄清楚之前，学生可能会对结果存在这样的疑问：是只有{红红、红黄、黄黄}三种方法，还是要用排列组合的知识分类求解呢？
我们知道对球编号并不影响最终的结果，因此，采用编号的办法区分4个红球和3个黄球与题干问法没有矛盾，问题变成从7个不同的球中取2个 出来的组合问题 ，即=21种不同方法，其中，每一种情况发生的概率都是相同的，即等可能的，均为。以上疑问中的“红红”这一类情况就包含了种不同情况，“红黄”这一类中包含了种不同情况，同理，“黄黄”这一类中包含了种不同的情况。继而第二问也迎刃而解，设“取到一个红球和一个黄球”为事件A，则
总之，关于概率中的编号问题，我们是在“不改变试验结果”的这一重要前提下，为了便于分析和理解问题而采用的一种方法，在古典概型问题中更便于理解“等可能”的本质，为今后排列于组合，以及随机变量的分布列等问题的学习打下良好基础，在教学和学习中都应该给予充分的重视。