试议结构主义基于解释结构模型结构主义数学教学

摘要：结构主义教学强调知识结构的重要性，运用解释结构模型（I）来构建和分析知识结构的优势是显然的。本文通过数学教学实例展示了解释结构模型在结构主义教学中的应用，为结构主义教学的实现提供了运用实例。
关键词：解释结构模型；结构主义；数学教学；知识结构
1672-5727（2013）06-0113-03
所谓学科的基本结构，就是指学科的基本概念和原理之间的那种内在联系并起普遍作用的知识体系。布鲁纳强调了学科知识结构的重要性。从布鲁纳的《教育过程》一书中可知：“不论选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”基于这一点，数学教师的教学设计必须从目标知识结构和现阶段的学生知识结构出发。所谓目标知识结构也就是说学生的知识构建应该按该结构进行组织，这是我们的教学目标，而学生的知识结构，也就是现阶段中学生实际掌握的知识点所呈现的拓扑结构。
结构主义数学教学的理论基础
首先，结构主义方法最初是由瑞士语言学家索绪尔于20世纪初在语言研究中提出来的，自此以后，许多思想家争相把结构主义方法与其他学科相结合，从而形成一股思潮。作为结构主义教育理论的代表人物布鲁纳就是一个结构主义者，他深受结构主义心理学家皮亚杰的影响。结构主义强调整体性，强调整体优于部分，强调关系等，而这些恰好属于系统科学的范畴。所以，运用系统方法来探讨结构主义教学的优势是显而易见的。
其次，为学生提供最佳理解的知识结构的前提是教师必须对知识领域的基础结构充分了解，只有这样才能合理地设计出适合学生认知水平的教学过程。教师的经验为知识基础结构的理解带来一定的方向性，但是对形而上学主观经验的依赖也会导致对知识基础结构理解的局限。布鲁纳指出了形而上学主观经验带来的局限性：“按照反映知识领域基础结构的方式来设计课程，需要对那个领域有极其根本的理解。没有最干练的学者和科学家的积极参与，这一任务是不能完成的。”这个观点是在1960年出版的《教育过程》（The Process of Education）中首先提出来的，以当时的条件确实缺乏一种量化的、直观的方法去理解知识的基础结构。同理，了解学生的知识结构同样存在局限性，缺乏量化原则。目前，利用结构主义教育理论研究教学的文献很多，但是很少运用一种量化的方法去探讨结构主义教学。
从上面分析可知，探索结构主义教学需要一套量化的、直观的系统方法。而解释结构模型技术提供了这种方法。解释结构模型技术是研究系统结构中最基本和最具特色的方法。通过解释结构模型技术去构建知识的基础结构更具有科学性和合理性，使教学更具效率。
利用解释结构模型技术构建结构主义教学
I技术是美国J.N.沃菲尔教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。其基本思想是：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术对要素及其关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。其基本工作原理如图1所示。其中虚线部分是解释结构模型的核心，理论性较强，计算量较大，需由计算机处理。
本文选择了成人高考复习资料的代数部分进行分析，以此为切入点，探讨利用解释结构模型技术进行结构主义数学教学的方法。利用解释结构模型技术进行结构主义教学共分三个阶段：建立目标知识结构模型阶段、了解学生知识结构模型阶段以及分析学生知识结构中的缺失环节阶段。

(一)构建目标知识结构模型阶段

1.梳理知识点，确定系统结构要素。首先就要梳理知识点，确定结构要素，为理清知识点间的关系提供前提条件。参考2011年成人高等学校招生考试的数学考试大纲确定知识点，并给每个知识点编号，见下页表1。
2.设定二元关系，建立邻接矩阵。首先要强调的是该教学属于复习性质，知识点与知识点的关系不是呈简单的“链状”关系，知识点与知识点之间是相互作用、相互影响的，是呈现网状的拓扑结构。比如，数的认识为集合概念的掌握提供了前提；集合的概念又是函数概念学习的基础；二次函数理解帮助一元二次不等式的求解；不等式的解法为求函数的定义域提供了可能，等等。为形成一个合理的I模型，首先就要理清各要素之间的关系，根据成人高考数学的实际情况，再运用解释结构模型的方法建立邻接矩阵。其中邻接矩阵A的元素定义为：（1）当Smi影响Smj时，值为1；（2）当Smi不影响Smj时，值为0。邻接矩阵A见表2。
3.进行区域划分和级位划分，确定可达矩阵。设A为邻接矩阵，M为可达矩阵，I为单位阵，满足布尔运算规则，运用以下公式可求可达矩阵M：（A+I）mk-m1≠（A+I）k=M。但是运用手工的方法进行计算摘自：本科毕业论文答辩www.618jyw.com
时，计算量较大，这时可通过Matlab计算可达矩阵M。求出可达集R（Smi）、先行集A（Smi），共同集C（Smi）= R（Smi）∩A（Smi），再进行区域划分和级位划分，发现各知识点区域不可分，而级位划分为Lm1={Sm4、Sm7、Sm9、Sm10}，Lm2={Sm6}，Lm3={Sm3、Sm5、Sm8}，Lm4={Sm2}，Lm5={Sm1}。根据级位划分后而得到的可达矩阵为M（L），见表3。4.提取骨架矩阵。求骨架矩阵过程为：（1）删除强连接要素，由可达矩阵M（L）得到缩减矩阵M’（L）；（2）去掉M’（L）中的越级二元关系，得到新矩阵M’’（L）；（3）最后A’= M’’（L）-I（其中I为单位矩阵）。A’就是要求的骨架矩阵。在本系统中，Sm3、Sm5、Sm8为强连接关系，以Sm3为代表元素，删除Sm5、Sm8所素得到缩减矩阵M’（L）。关键在于第二步，由于缩减矩阵M’（L）的阶数为8，通过手工的方法去掉越级二元关系显得很烦琐。黄志同提供的思路是：“设M是无圈可达阵，我们对M中非对角线上的‘1’元素mij逐一检验，看它是基本元素还是诱导元素。若在M中去掉mmimj （即令mmimj=0）所得之矩阵S仍然属于 [M]mR类，则mmimj是诱导元素，若S不属于[M]mR类，则mmimj是基本元素。”这里所说的“无圈可达阵”就是剔除了强连接要素后得到的缩减矩阵；“诱导元素”就是指所代表的二元关系是越级二元关系；“基本元素”就是指所代表的二元关系是基本二元关系。其程序框图如图2所示。
根据这一思想编写出求骨架矩阵的Matlab程序，并求出骨架矩阵A’，见表4。
5.绘制多级递阶有向图D（A’）。根据求出的骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图D（A’），见图3。
显然，知识点应该按目标知识结构模型提供的拓扑结构进行构建的。

(二)了解学生的知识结构模型阶段

如何做到了解学生的知识结构？殷文辉提供了测试学生知识空间的方法。但知识结构不等同于知识空间。高纯和王睿智认为：“知识结构（Q，K）中，当K中的所有元素满足对并运算封闭时，称该知识结构为一个知识空间。”本文讨论的重点是知识结构，而非知识空间。虽然如此，殷文辉提供的思路对于我们了解学生的知识结构还是相当有益处的。他提供的基本思想是知识点之间的二元关系可以通过回答题目来确定，如果被测试者回答正确，则说明被测试者掌握该二元关系；如果被测试者回答错误，则说明被测试者没有掌握该二元关系。但是，他没有详细说明如何确定知识点源于：大学生毕业论文www.618jyw.com
之间层级关系，作者把该工作归为由该领域的教师或课程专家来确定。其实，在级位划分时已经确定了知识点之间的层级关系。
结合殷文辉提供的思路，再由解释结构模型技术确定的知识点之间的二元关系进行设计题目，就可以测试出学生对各知识点二元关系的掌握情况。假设学生对各知识点之间的二元关系掌握情况用矩阵SA来表示，其中邻接矩阵SA的元素定义为：（1）当学生掌握Smi到Smj的二元关系时，值为1；（2）当学生没有掌握Smi到Smj的二元关系或知识点Smi不影响Smj时，值为0。见表5。
根据反映学生所掌握知识点之间的二元关系矩阵SA，绘出多级递阶有向图D（SA）如图4所示。

(三)分析学生知识结构中的缺失环节阶段

目前，我们得到两个结构模型：一个是目标知识结构模型，即图3，一个是反映学生实际的知识结构模型，即图4。我们把这两个模型进行对比，就可以发现学生知识结构中缺失了哪部分的环节。从上面的例子可发现，学生在第一级区域中，知识点S4和S7没有掌握好，在第二级区域中知识点S6没有掌握好，显然知识点S7的缺失是由知识点S6的缺失所造成的。
结论
了解了学生知识结构中的缺失环节，教师就可以以此为根据进行课程设计，更好地构建学生的认知结构，提高教学效率。通过解释结构模型技术实现的结构主义教学，确实比以往的结构主义教学更具科学性、合理性，更符合量化原则，更能贴近教学的实际需要。本人以数学教学为切入点，介绍解释结构模型技术在结构主义教学中的应用，这有助于教师安排教学计划、课堂设计，更使学生的知识结构呈层次化、条理化和系统化发展。
通过解释结构模型技术实现的结构主义数学教学共经历三个阶段：建立目标知识结构模型阶段、了解学生知识结构模型阶段以及分析学生知识结构中的缺失环节阶段。在建立目标知识结构模型阶段中，反映要素之间逻辑关系的邻接矩阵是通过讨论、调查来确定的，因此邻接矩阵的主观依赖性比较强。在了解学生知识结构模型阶段中，有一个环节是“由解释结构模型技术确定的二元关系进行设计题目，就可以测试出学生对各知识点之间的二元关系的掌握情况”。由此，题目的设计也带来较强的主观性。这就为解释结构模型技术在结构主义教学中的推广带来一定的不明朗因素。
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作者简介：
张健（1981—），男，在职硕士研究生，广东省高级技工学校讲师，研究方向为系统科学与数学教学。