研讨恒等式例析恒等式成立理由几种解法

不等式是中学教学中重要内容之一，考查不等式的问题常与函数知识结合起来，恒成立问题因充分体现了不等式与函数知识的整合，故频频出现在各类数学综合测试卷上，现就对不等式恒在立问题的题型及解决方法小结如下：

1.二次不等式的恒成立问题

1.1 已知参数取值范围求x转换变量。

例1：对于θ∈R，不等式x2-（5+cosθ）x+（4cosθ-6）<0 恒成立，则x的取值范围〖CD#5〗。
析：原不等式恒成立（4-x）cosθ+（x2-5x-6）<0恒成立，由于已知θ∈R ，故可将x为变量的不等式转化为以θ为变量的不等式。
解：∵θ∈R ，
∴cosθ∈[-1，1]，设t=cosθ∈[-1，1]，则不等式亦等价于f（t）=（4-x）t+（x2-5x-6）<0，在[-1，1]上的恒成立问题，则只须〖JB（{〗f（1）<0f（-1）<0〖JB）〗，即〖JB（{〗x2-6x-2<0x2-4x-10<0〖JB）〗，
解之3-〖KF（〗11〖KF）〗

1.2 已知x取值范围求参数。

〖JB（{〗1、若x∈R，则：〖JB（〗①二次项系数为零或②〖JB（{〗二次项系数>（<）0△<0〖JB）〗〖JB）〗

2、若x∈[a，b]，则利用最值〖JB）〗

例2：f（x）=（m2+4m-5）x2+4（1-m）x+3的图像都在x轴源于：本科www.618jyw.com
上方，则实数〖CD#5〗。
析：f（x）图像都在x轴上方（m2+4m+5）x2+4（1-m）x+3>0在R上恒成立，则①二次项系数为0或②〖JB（{〗二次项系数>（<）0△<0〖JB）〗
解：①m2+4m-5=0，即m=1或-5，经检验m=1成立或②〖JB（{〗二次项系数>（<）0△<0〖JB）〗，解之1

2.绝对值不等式的恒成立问题

例3：设函数f（x）=-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗x3+2ax2-3a2+b，0析：先去掉绝对值再利用最值求解。
|f′（x）|≤a恒成立〖JB（{〗f′（x）max≤af′（x）min≥-a〖JB）〗
〖JB（{〗f′（x）max-a≤0f′（x）min+a≥0〖JB）〗。
∵|f′（x）|=-x2+4ax-3a2，
∴〖JB（{〗-x2+4ax-3a2-a≤0-x2+4a-3a2+a≥-a〖JB）〗，
即〖JB（{〗x2-4ax+3a2+a≥0x2-4ax+3a2-a≤0〖JB）〗。
设h（x）=x2-4ax+3a2+a，g（x）=x2-4ax+3a2-a，对称轴x=2a，
∵a+1-2a=1-a>0（0∴h（x），g（x）均在[a+1，a+2]上单增。
∴〖JB（{〗h（x）min=h（a+1）≥0g（x）max=g（a+2）≤0〖JB）〗，解之〖SX（〗4〖〗5〖SX）〗≤a<1。

3.易于确定参数的系数符号的其他类型不等式恒成立问题：分离参数

例：f（x）=1g〖SX（〗1+2x+…+（n-1）x+nx·a〖〗n〖SX）〗a∈R，n∈N+且n≥2，若f（x）在（-∞，1）上在意义，则〖CD#5〗。
析：此题ax的系数部分nx>0恒成立，故适于将a分离出来，从而问题转化为求主元x函数的最值。
解：f（x）在（-∞，1）上在意义1+2x+…+（n-1）x+nx·a>0在（-∞，1）上恒成立问题。
以上是不等式恒成立问题常见的几类题型和相应处理方法，仅供读者参考。