研讨圆锥曲线例析福建圆锥曲线高考新动向及教学反思

本人结合近年福建高考及质检中圆锥曲线的考题，分析这块知识在高考中的一些新的变化，希望对日常教学有所帮助，能有利于更好地把握教学方向和难度，做到有的放矢、事半功倍。
首先从以下几点谈谈圆锥曲线在福建高考中新变化。

一、要求视乎有所降低，但又没有模式化

2011年文理卷分别在第17、18题考查解析几何，2010年是第17题，把立体几何后移到第20题，各地市质检卷也纷纷效仿，如宁德质检平面几何是第18题的位置，和选择题第10题压轴，福州第19，厦门、泉州、莆田第17，2012年又后移到19题，可见变数还是较大，这也反应出了命题者矛盾的心理。因此很难预测2013年它会出现在什么位置。
例（2011宁德市质检18）
已知椭圆的焦点为，，
离心率为，直线与轴，轴分别交于点，．
（Ⅰ）若点是椭圆的一个顶点，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段上存在点满足，求的取值范围．
解法一：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，故，
由，得，　∴，
所以所求的椭圆方程为.
（Ⅱ）由，可设椭圆方程为，
联立得，
已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，等价于方程在上有解
∴，
由，故，
故所求的的取值范围是.
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）由，设椭圆方程为，
联立得，
已知线段上存在点满足，即线段与椭圆有公共点，等价于方程在有解.
设，
∴，解得
∴，
故所求的的取值范围是.
本题均考查圆锥曲线中常见的、基础的知识，综合考查的二次函数的知识也是学生较为顺手的内容，故难度相对低些。由此反映了命题者的一个共识，希望降低本块知识的考查难度，提高得分率，因此日常教学中应避免过度强调本块是难点知识，指导学生克服畏难情绪，强化基础，提高运算能力，提高得分水平，以不变应万变。

二、突显主干知识，重视知识交汇

命题合理地依托知识的平和交汇，2012年的文、理卷均把向量与解析几何交汇考查，　既保证了支撑数学学科的重点知识得到重点考查，又保证了考查的全面性。检测了考生是否具备了应有的数学素养。本快知识考查出现频率较大的依然是圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，过定点问题，最值问题等。
例如　（福州市2011年质量检查文科）
已知椭圆（常数m、，且m>n）的左右焦点分别为，M、N为短轴的两个端点，且四边形F1MF2N是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）过原点且斜率分别为k和－k（k≥2）的两条直　线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内）求四边形ABCD的面积S的最大值．
分析：　（Ⅰ）依题意：，
所求椭圆方程为
（Ⅱ）设A（x，y）.
由得
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知
…………9分
∴
设则当时，
∴在时单调递增，∴
∴当时，
本题第1问综合考查了圆锥曲线和四边形的性质、第2问由直线与圆锥曲线的位置关系求点坐标再得出面积对文科生来说运算量已经不小了，而求最值问题本身就是热点、难点问题，这对平时只会“依葫芦画瓢”的文科生而言无疑是不小的思维考验。充分体现了命题对考生必备的数学素养的关注，体现了对高中数学主体知识考查的高度重视。高考文、理科卷中，主体知识的占分比例分别约为76、70。也充分说明了这一点。　这要求我们源于：论文写法www.618jyw.com
平时应强化学生知识运用的熟练程度。

三、立足学科本质，关注实际应用

圆锥曲线的命题也充分注意到了数学知识的应用广泛性，立足数学的学科本质，以本质的数学和数学的本质为依托，这也体现了新课改的理念，命题者试图通过以此来解决数学中长期存在的理论与实际脱离，“神”与“形”分离的怪相，回归数学教育的本质。同时求新求变，试图摆脱传统的命题模式。
如福州质检19题：
某飞船返回舱顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域内安排了三个救援中心（如图1分别记为A，B，C），B地在A地正东方向上，两地相距6km；C地在B地北偏东方向上，两地相距4km。假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。
求A、C两个救援中心的距离；
求P相对A的方向角；
试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点（如图2，返回舱经Q点垂直落至P点）处发出时，A、B两个救援中心收到信号的诗句差的变化情况（变大还是变小），并证明你的结论。
分析：（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（2），所以P在BC线段的垂直平分线上.
又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为
联立两方程解得：
∴∠PAB＝120°所以P点在A点的北偏西30°方向上
（3）如图，设
又∵
即从P点的正上方Q点处A、B收到信号的时间差比从P点处A、B收到信号的时间差变小.本题很好的考查了学生能否将自然语言、图形语言、数学语言相互转化，如本题中“北偏东”“正东方向”等关键词体现角度问题，“经过4s后B也收到信号”反应的是双曲线的意义，“B、C同时接收”抽象出P在BC的中垂线上等一系列转化问题对学生都是难点，更不要说最后还要综合不等式等相关知识了。
再如，2012年文5、理8考查了圆锥曲线的离心率、焦点、渐近线等均属本质特征，　2012的文14、16、20及理16等以学生熟悉的学习、生活实际，或社会热点问题为背景，这要求学生有较强的建模能力，同时要求学生能以习得的数学知识为载体，实现知识迁移，解决实际问题，无疑难度倍增，要求教师改变长期以来教学脱离实际的问题，也非一朝一夕之事。
这类题整体突出对学生数学本质能力、探究能力和实践能力的考查，培养学生创造性解决问题的能力，亦是社会赋予我们教育的责任。

四、立足选拔，关注潜能

我们应该清醒地认识到圆椎曲线的知识依然是重难点，许多考题都设置多个小题，设置环环相扣，命题以创新型试题和探究性试题为载体，从而使本知识能较好地体现对考生学习方式和学习潜能的关注，使得试卷的选拔功能得以全面体现。
例（2012福建高考理数19）
如图，椭圆E：　的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于A、B两点，且△AB的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆E的方程。
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
分析：
本题的考查就很好的说明了以上分析，例如本题2问首先要得出P的坐标就是不易，再由对称性知M在X轴上，很少学生会有这样的能力，这步不能解决即使下面能想到利用数量积也是徒劳，反而是通过取P、Q的特殊位置，猜想，更适合大部分学生的思维水平。本类型考题综合性强、思维难度大、运算量大，需要学生有准确的切入点和灵活地思辨能力。故我们再强调通性通法时也要训练学生有非常的手段，解题思想切勿僵化、模式化。

五、倡导多思少算、加大文理差异

命题直面文、理科学生数学学习水平的差异，合理加大文、理科试卷的差异。如文21中AOB为等边三角形，大大降低了求抛物线的难度，2问中文科以抛物线为背景，理科以椭圆为背景，显然，思维难度和计算量上都有较大差异。这不仅仅体现本块知识上，应该也是整个高考命题的趋势。2012年的两份试卷中，完全相同的试题只有两道（文6和理12，文20和理17），其它题目所考查知识点文理均有较大差异，这样的试题设置，无疑使试卷的人文关怀得以更为明晰的体现。
命题提倡多思少算，并非意味着难度有所降低，当遇到多个知识点交汇处，由于平时缺乏思维摘自：学士论文www.618jyw.com
能力的锻炼，就易产生畏难情绪。而且12年的数学试题同时还强化了对数学思想方法的考查力度如理12，理19等，故平时的教学应注意从锻炼学生的思维能力入手，注意对数学思想方法的提炼，使学生思维达到一定的高度。

六、针对以上几点变化对圆锥曲线教学的启示

（1）深入理解教材、强化学生双基，基础知识讲透，练精，多练多测，及时把握学生学习情况。
（2）淡化技巧。注重通性通法，和多种方法求解，如宁德等地市的考题评分标准中都提供了多种解法。同时注重分层次教学，争取使学生有更多的得分机会。
（3）重视知识的形成过程教学与实际应用教学。重视践行新课改理念于日常数学教学过程中，为高中数学增添新的活力，提供新的研究思路与方法。
（4）点面结合，突出主干知识，注意知识间的融会贯通，平时加强变式探究，对开放性、探究性试题进行必要的研究。以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，指导学生解题策略，提高综合素质和能力。
以上几点经验总结，与各位共勉，欢迎批评指正。