试议线性规划图形计算器下《线性规划理由》教学设计学年

【内容解析】
本节课是（苏教版）必修五§3.3.3《线性规划问题》，主要内容是介绍线性规划问题的图解法，用图形计算器来帮助学生学习在多元变量的约束条件下，寻求目标函数的最优解问题，通过学生的自我实验、自我探究、自我总结，真正体现了“做中学”的学习模式，在收获知识的同时，提高学习数学的兴趣；教师也成为学生探究的合作者和引导者。
【教学目标】
1.知识与技能：了解线性规划的意义及其相关概念，理解线性规划的图解法，并会求线性目标函数的最值，培养学生使用图形计算器的动手能力和探究意识。
2.过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将问题转化为线性规划问题来解决；教师可激励学生从探究入手、讲动结合，借助图形计算器的直观演示增加学习的趣味性和生动性，从感性认识上升到理性认识，培养学生运用数形结合思想解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：结合教学内容，使学生形成学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，掌握“数形结合”的数学思想。
【学情分析】
以前学生对函数的理解仅是一元变量，而这是二元变量和不等式的运用，这给学生带来较大的挑战，从而突出方法的重要性；本节课放在解析几何学习之后，通过直角坐标系中数形结合的处理方法，形象直观易懂，使学生学得轻松，同时领悟数形结合思想妙处。
【教学策略分析】

1.本节课的重点是用图解法求解线性规划问题，难点是如何寻找线性规划问题的最优解。

2.充分借助现代信息技术整合课堂教学（用图形计算器和多媒体），让学生增强用现代信息技术的意识，培养学生初步应用现代信息技术的能力。
3.线性规划问题的最优解因线性约束条件的不同而不同，随线性目标函数的改变而改变，因此，我设计了一组变式问题，在线性约束条件相同的情况下改变线性目标函数，看最优解的求解过程究竟发生了哪些变化。从而让学生了解求解线性规划问题最优解应注意的两个关键点：一是随着线性目标函数的直线从原点向右上方平移，其函数值是逐渐变大还是逐渐变小；二是线性目标函数何时取得最大值或最小值，以及已知最优解的情况，来确定目标函数中字母的取值范围。
【教学重点与难点】
重点：线性规划的图解法
难点：寻求线性规划问题的最优解情况
设计意图：可能遇到的疑虑和困难：（1）图解法中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？（2）数形结合思想的深入理解。
为此教学中教师要为学生创设探究情境，并作合理适度的引导。学生通过对图形计算器的运用，进行深入探究思考。教师的引导是至关重要的，能促使学生获取直接经验，领悟数形结合思想，从更深层次理解“以形助数”的作用及具体方法。
【教学过程】

一、问题情境

1.情境：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等方面，都是在多个约束条件下的问题，下面让我们从一个具体事例开始：（苏教版）必修五：书P72。
2.问题：若实数x，y满足条件4x+y≥104x+3y≤20x≥0y≥0，求函数z=2x+y的最大值与最小值。
教学预设：教师启发、学生活动。
设问1：能否用图形计算器作出这个不等式组的图形？
设问2：方案一：先求出x和y的范围，再求2x+y的最大值与最小值？
方案二：由构造的函数z=2x+y直接求最值？（学生分小组活动、验证）
设计意图：以景，以情激思，利用图形计算器立即画出图像；让学生亲自动手操作、实验，既有行为参与又有思维参与，从而激发兴趣，丰富经历，引领学生进入学习情境。
用图形计算器的操作步骤：
（1）按p键，进入主菜单，直接按数字键5，进入“图形”窗口；
（2）按e（类型），按u（下页），按r（Y≤），回到“图形函数”窗口，输入10-4x，成为Y1≤10-4x；
（3）类似第②步与第③步，编辑不等式。每一次输入完成后按l键，使不等式处于被选中状态（如源于：毕业论文致谢怎么写www.618jyw.com
图1）；
（4）按L键，再按p（SETUP）键，拨动光标控制盘移动光标，落在“不等式类型”行处，按q（相交）（如图2）。最后按d退出设置，回到“图形函数”窗口；
（5）按u（绘图），绘制出不等式组所给出的区域图（如图3）。
（6）按i，如图，再按q（图片），再按q（保存）；再按q（1～20）。键入数字1，按l，把图形保存为图片1；
（7）按L键，再按p（SETUP）键，显示参数设置窗口，如图4；把背景设置为Pict01。最后按l键，退出设置；
（8）按p回到主菜单窗口，按数字键u，进入“动态函数”窗口；编辑y=A-2x，按l，选中它；
（9）再按l键（或r），如图5，进入“动态变量”窗口，设置参数；
（10）按w（设定），进入“动态设定”窗口；进行如下的设置（开始值为-1，终值为9，步长为0.2），每一项设置完成后按l键，最后按l退出参数取值范围设置；
（11）设定完后，按l键回到“动态变量”窗口，按e（速度），进入“动态速度”窗口，设置参数变动速度；按q，选择“单步执行”，按l，回到“动态变量”窗口；
（12）按l，进入执行状态，如图6；不断按l，依设置步长分别画出相应的图像。
可见，A的最大值是

7.5，不断按l可见A的最小值是0。

二、建构数学

1.基本概念：约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、线性规划问题、最优解等概念。

2.求解线性规划的最优解的步骤（前提：指出线性约束条件和线性目标函数）：

（1）作：作出可行域；
（2）变：变目标函数z=Ax+By，了解它的几何意义；（3）移：平移基线L，寻找使纵截距取得最值时的点；
（4）求：通过解方程组求点的坐标，并转化为最优解。

三、知识运用

问题：实数x，y满足条件不变，自我设计目标函数。
活动1：你能否设计一个目标函数，使得最优解何时只有一个？何时有无穷多个？
设计意图：让学生体会利用图形计算器研究问题的一般程序，一要明确做什么；二是发现了什么；三明白为什么是这样，并从中领会“变中之不变”的数学思想和数形结合的思想。
（教师引导，学生分小组活动，随着a取不同的值，观察图像、寻找规律、抓关键位置、总结结论）
活动2：设z=ax+y，若使目标函数z取得最大值的最优解有无数个，求a的值。
（部分学生记录：①～④设置变量z的开始值为-1，终值为9，步长为0.2；⑤设置变量z的开始值为-6，终值为4，步长为0.2；⑥设置变量z的开始值为-4，终值为8，步长为0.2）
（目标函数在斜率从-2～-～0～～1～2变化下，发现纵截距与z的最值的变化关系）
活动3：设z=ax+y，若目标函数z仅在点（5，2）处取到最大值，求a的取值范围。
（构造目标函数y=k（x-5）+2，使其过定点（5，2），发现斜率与z的最值的变化情况，如下图。）
用图形计算器的操作步骤：
前面同引例一样，后面步骤如下：
（1）按p回到主菜单窗口，按数字键u，进入“动态函数”窗口；如图1，编辑y=k（x-5）+2，按l，选中它；
（2）再按l键（或r），进入“动态变量”窗口，设置参数；
（3）按w（设定），进入“动态设定”窗口；进行如下的设置（开始值为-6，终值为6，步长为0.2），每一项设置完成后按l键，最后按l退出参数取值范围设置；
（4）设定完后，按l键回到“动态变量”窗口，按e（速度），进入“动态速度”窗口，设置参数变动速度；按q，选择“单步执行”，按l，回到“动态变量”窗口；
（5）按l，进入执行状态，如图2-4；
设计意图：用已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定目标函数某些字母系数的取值问题，来训练学生从各个不同的侧面去理解图解法求最优解的实质，培养学生思维的发散性。不仅教学生学习数学知识，而且教学生学习数学方法，在做中学，让学生自己发现发明摘自：学年论文格式www.618jyw.com
，实现对学生创造力的培养。

四、课堂训练

如图所示，已知△ABC中的三顶点A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：
（1）z=x+y在处有最大值 ，在处有最小值 ；
（2）z=x-y在处有最大值 ，在处有最小值 ；
思考题：
（3）你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的情况有无穷多个？
（4）请你分别设计目标函数，使得最值点分别在A处、B处、C处取得？
【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，让学生再一次深刻体会到数形结合的妙处，完善了知识结构体系。

五、总结反思，留下悬念

（1）这节课学习了哪些知识？
（2）学到了哪些思考问题的方法？
设计意图：有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生交流和表达的能力。