分析举例初中函数概念教学举例有效性心理

初中数学教学中，概念获得的方式有两种，一种以概念形成方式获得，另一种是以概念同化方式获得。由于初中生的年龄、认知水平的特点，数学认知结构比较简单而具体，数学知识比较贫乏，在学习新的数学知识时，能作为同化新知识的已有基本知识比较少或没有，因此在教学中，大部分概念是以概念形成方式进行教学的。所谓概念形成是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳方式概括出这类事物的本质属性从而获得概念的方式。函数概念是初中数学教学的重点和难点，是常量数学到变量数学的转折点，是学生学习变量数学的起点，是初中数学的核心概念之一。因和学生已有的常量数学知识不能直接相联系，因此函数概念的引入利用概念形成的方式进行，本文谈谈在这个过程中，如何提高函数概念教学的有效性。

一、正例的充分性

正例的充分性是指在函数概念的形成过程中，所举正例的个数、正例的类型满足什么条件，才能使学生形成正确的函数概念的表征。在函数概念的形成过程中，有很多因素需要考虑，其中主要应考虑以下几个方面的因素。
第一，从数学教学心理学对概念形成的要求，所举的正例要有利于学生通过观察、分析、比较、归纳、概括出这些例子的本质属性，从这个角度分析，所举正例的个数至少应在二个，才能进行比较、分析、归纳、概括例子共同的本质属性。
第二，从函数的表示方法上来分析。两个变量之间的对应关系可用解析式、列表法、图像法等三种方法表示，因此所举正例的个数至少应包括二种类型。不妨假设只举两个变量之间的关系用解析法表示的例子，这样会使学生认为函数解析式是函数概念的本质属性，从而扩大函数概念的内涵。例如，举如下问题

1、问题2两个例子形成函数概念。

问题1.地球上的赤道是一个大圆，半径长r0≈6.378×106（米）。设想有一个飞行器环绕赤道飞行一周，其轨道是与赤道在同一平面且同圆心的圆E。如果圆E的周长比赤道的周长多a米，那么圆E的半径r是多少米？
问题

2.一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升。

（1）填表：
（2）在汽车行驶过程中，汽车行驶的路程与油箱里剩余的油量都是变量吗？
（3）设汽车行驶的路程为x千米，油箱里剩余的油量为y升，用含x式子表示y。
显然上面两个例子两个变量之间的关系均可用解析式表示，而这并不是函数概念的本质属性，因此以这两个例子形成函数概念不能使学生正确表征函数概念，要有使学生舍弃这二个例子中非本质属性的例子（舍弃解析式），所以至少应包括用两种方法表示两个变量的对源于：大学生论文查重www.618jyw.com
应关系，从这个角度分析至少二个例子。
第三，从学生的气质类型上来分析，至少应有四个例子。因为有的学生是代数气质类型，很容易理解代数方面的例子；有的学生是几何气质类型，很容易理解几何方面的例子。故这些例子应包括几何与代数类型的例子，而几何与代数方面的例子要分别举二个例子，以使学生概括出例子的本质属性。
综上分析，可知，在函数概念的形成过程中，至少应有四个例子，这四例子是两个几何方面的例子，两个代数方面的列子，应包括三种表示变量之间对应关系的方法。一个代数例子和一个几何例子，变量之间的关系用解析式表示的，用表格法、图像法表示两个变量之间的关系，舍弃代数例子、几何例子中的解析式这个非本质属性。这样才能有利于学生充分感知素材，正确形成函数概念的表征。

二、经验的紧密性

经验的紧密性是指在函数概念的形成过程中所举例子要和学生的生活经验紧密联系。一是心理学研究表明：对初中学生而言，形成抽象概念的能力不强，对抽象的概念还把握不了本质属性，虽然函数概念是在初二年级进行学习，但初二只是学生理解抽象概念转折点，还不具备理解抽象概念的真正能力。二是研究表明：从智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。三是学生在函数概念学习之前，所掌握的是常量数学知识，主要是代数式的恒等变形和方程、不等式等，以通过运算结果为目的，主要目的是计算。而函数是研究变量与变量之间关系的数学，这些知识不能与学生现有的数学认知结构直接相联系，所以学生要重建数学认知结构，以顺应新知识的学习，对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应函数知识的学习，因此所举的例子要联系学生的生活实际。学生的生活经验经过内化也是学生认知结构的一部分，可以成为同化新知识的固着点，这样学生能够利用已有的经验来理解所举的例子，同时所举的例子又能够在学生已有的经验基础上进一步地建构学生的经验，这个过程本质是缩小新知识与学生已有认知结构之间跨度的过程，缩小这个距离，才能有利于学生同化函数概念，有利于学生掌握函数概念的本质。例如：上面的以问题1为函数概念形成的例子，与学生的直接生活经验的联系不密切，不利于形成函数概念。而下面的问题3与学生的生活经验联系密切，而且是每个学生都感知过，因此有利于函数概念的形成。
问题3.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下表，然后再用含t的式子表示s。

三、首例的典型性

首例的典型性是指在函数概念形成过程中，所举的第一个例子要具有典型的代表性。因为按照概念形成的聚焦策略，第一个例子是学生对后面例子进行分析的思维载体，第一个例子分析好，才有利于学生在后面的例子中发现问题的本质属性，而舍弃非本质属性，这样才有利于函数概念的形成。另外，第一个例子容易使学生形成思维定势，先入为主，因此第一个例子一定要具有典型代表性，第一问一定要体现变量之间的对应这个函数概念的本质属性，这样会使学生对函数概念的第一印象就是变量之间对应的本质。上面的问题1如作为函数概念形成的首例，一是脱离学生的生活经验，二是对学生的空间想象力要求太高，三是没有分步提问进行分析，体现变量之间对应的本质属性，做为首例容易扩大函数概念的内涵，认为两个变量之间必须有解析式表示才是函数。而问题3做为函数概念形成的首例，是具有典型代表性的。问题先是填表体会变量之间的对应本质，然后给出解析式，使学生能体会、感知到变量之间的对应关系，故有利于后续例子的分析。

四、反例的必要性

反例的必要性是指在函数概念给出后，要及时给出正反例变式让学生进行辨析。通过正反例变式以使学生对函数概念的内涵与外延有个清晰的边界，这样进一步使学生加深对函数概念的内涵的理解。正例变式可考虑不同学生的生活背景，可从多种背景、多重层次、多个侧面揭示变量之间对应的本质属性。通过反例变式明确函数概念的外延，概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此，函数概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。反例变式的运用消除了非本质特征的干扰，划清了与其他概念之间的边界，明确了概念的外延，以达到对函数概念的本质特征的深刻理解，以使学生建构起函数概念有效的认知结构，使之成为学生内部知识网络的一部分。
总之，函数概念是现代数学的核心概念，它标志着常量数学向变量数学的过渡，是教学中难啃的硬骨头。教学过程中必须恰到好处地选择联系学生直接生活经验，具有一定代表性、典型性，类型全面和一定数量的例子进行分析，才能使学生在函数概念的形成过程中，建构函数概念的概念域和概念系，并最终建立函数概念的图示，这样才能使学生正确地表征函数概念，真正地理解函数概念，而不是死记硬背函数概念，从而提高函数概念教学的有效性。
参考文献
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（责任编辑刘永庆）