最短,盘点初中数学中最值理由

更新时间:2024-01-12 点赞:20892 浏览:94742 作者:用户投稿原创标记本站原创

初中数学中有很多最值不足的探讨,无论是代数方面还是几何方面,经常涉及到求最大小值的不足。最值不足和我们的实际生活联系非常紧密,比如怎样最省、最快、最节约材料等。下面,我就初中数学中的最值不足举例说明。

一、两点的所有连线中,线段最短,即两点之间线段最短

由这个结论我们还可以得到三角形三边的联系:三角形的任意两边之和大于第三边。利用它求最值不足往往和对称、平移联系在一起。
例1 如图1,在燃气管道L旁有两个镇A和B,要在管道上修一个泵站往两个镇供气,问泵站修在哪里可使所用的输气管线最短?
解:如图2,作A关于直线L的对称点A′,连接BA′与直线L交于点C,点C为所求泵站位置。
例2 如图3,一长方体盒子,长宽高分别为a、b、c,一只蚂蚁在顶点A处,要爬到顶点G处,它爬行的最短距离为多少?
解:如图4,把长方体展开,后面的面和底下的面不画。蚂蚁爬行的最短距离为线段AG的长,利用勾股定理可求得解。
注:对于求其他可以展开的立体图形(如棱柱、圆柱毕业论文、圆锥)上的最短距离,策略和这个基本相同。

二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段

最短
例3 如图5,小明和妈妈在矩形花园里玩,小明沿着BCDB的路线跑,妈妈站在A处,矩形花园的长宽分别为40米和30米。问小明离妈妈的最短距离是多少?
解:过A作BD的垂线段AE,即为最短距离。
∴小明离妈妈的最短距离是24米。

三、二次三项式求最值

二次三项式求最值的策略就是把二次三项式配方,化成一个完全平方式与一个常数和的形式,利用完全平方的非负性来求最值。如:2x2+4x-3=2(x2+2x-)=2(x+1)2-5≥0-5=-5,所以该二次三项式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2(x+1)2-1≤0-1=-1,所以该二次三项式有最大值-1。

四、利用根的判别式求最值

例4 如图6,⊙O的直径AB=2,AD、CD、BC是⊙O的切线,若AD=x,BC=y,求四边形ABCD的最小面积。
解:设四边形ABCD的面积为S,如图6,过D作DE⊥BC于点E。由切线和切线长定理可知:四边形ABCD是矩形,EC=y-x,CD=x+y,而DE=2,
∴22+(y-x)2=(x+y)2,
化简得y=。
∴SABCD(AB+BC)×AB
这个方程有实数解,所以△=b2-4ac≥0,
即S2-4≥0,S2≥4,∴S≥2。
∴四边形ABCD的最小面积为2。

五、利用函数求最值

利用函数求最值时,一般是先根据题意建立一个函数模型,再确定出自变量的取值范围,根据函数的增减性来求最值。

1. 用反比例函数求最值

例5 一个工人一天能编3至5个箩筐,某工厂每天要生产这种箩筐150个,问该工厂应该聘请多少名工人?
解:设应聘请y名工人,每名工人每天生产x个箩筐,则当x=3时,y=50;当x=5时,y=30。
所以,至少聘请30人,最多聘请50人。

2. 用一次函数求最值

例6 2008年地震后,甲地需饮用水240吨,乙地需饮用水260吨,现在A厂有瓶装饮用水200吨,B厂有瓶装饮用水300吨,要把这些饮用水全部赠送给甲乙两地。以A厂往甲、乙两地运饮用水的费用分别为每吨20元和25元;以B厂往甲、乙两地运饮用水的运费分别为每吨15元和24元,怎样调送可使总运费最少?
解:设总运费为y元,A厂运往甲地的水为x吨,则运往乙地的水为(200-x)吨;B厂运往甲乙两地的水分别为(240-x)吨和[300-(240-x)]=(60+x)吨,则y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x),即:y=4x+10 040。
这里A厂运往乙地的水200-x≥0,x≤200 即0≤x≤200。
函数y=4x+10 040的值随自变量的增大而增大,当x=0时,y有最小值10 040。所以,以A厂运往甲地0吨,运往乙地200吨;以B厂运往甲地240吨,运往乙地60吨时总运费最少,总运费最小值是10 040元.
(西藏拉萨市第八中学)



相关文章
推荐阅读

 发表评论

共有3000条评论 快来参与吧~