变量,复变量代换解题探讨写作策略

摘 要：复变量z=a+bi区别于实变量的标志是它由两个变量a与b有序构成，其体现形式是代数运算、三角运算、几何运算，在数学的理由中，复变量代换可化繁为简、化难为易。
词：复变量代换 三角 剖析几何
数学是一门探讨现实世界空间形式和数量联系的学科，也探讨“数”与“形”的学科，而复数是沟通“数”与“形”的桥梁。复变量z=a+bi区别于实变量的标志是它由两个变量a与b有序构成，又复变量自身的多种形式（代数、三角、几何形式）和所用策略教学论文的灵活多样性，使它的运用范围很广泛，在数学领域中，都复变量代换解决理由。

一、复变量代换在三角运用

例1 求值：cos■+cos■+cos■+…+cos■,（n∈N）
浅析：作复变量代换，令z=cos■+isin■，那么本题就转化为求z+z2+z3+…+z2n－1的实部理由，自然归结为用棣莫佛定理解决高次乘方理由，再由复数相等条件。
解：令z=cos■+isin■，（n∈N）。
A=cos■+cos■+cos■+…+cos■,(n∈N)。
B=sin■+sin■+sin■+…+sin■,（n∈N）
则 A+Bi=z+z3+z5+…+z2n－1=■=■
z2n+1=cosπ+isinπ=－1，
所以 A+Bi=■=■=■
=■=■+■cot■i。
所以 A=■。
所以cos■+cos■+cos■+…+cos■=■。
例2 已知α、β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α－2sin2β=0，求证：α+2β=■。
浅析：此题可作复变量变换求解，令z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ。将本题转化为求z1 z22的辐角主值理由便迎刃而解。
证明：设z1=cosα+isinα（0<α<■），z■=cosβ+isinβ（0<β<■），
则0<α+2β<■。
所以α + 2β = argz1 + argz22= arg（z1■z22）。
由3sin2α+2sin2β=1，得3sin2α+2×■=1
所以cos2β=3sin2α。
由3sin2α－2sin2β=0，得sin2β=3sinαcosα。
所以z1■z22=（cosα+isinα）（cos2β+isin2β）
=（cosα+isinα）（3sin2α+3isinαcosα）
=3sinα（cosα+isinα）［cos（■－α）+isin（■－α）］
=3sinα（cos■+isin■）=3sinαi，
所以arg（z1■z22）=arg（sinα3i）=■（sinα>0）。
即α+2β=■。

二、复变量代换在解剖析几何运用

例3已知定点A（-2，0）和圆x2+y2=1上的动点B，点A，B，C按逆时针方向排列，且|AB|:|BC|:|CA|=3:4:5，求点C的轨迹方程。
浅析：先弄清复数乘法的几何作用小学数学教学论文：若u=z·r（cosθ+isinθ），则只需将■（P为z在复平面内的对应点）绕原点逆转θ角，并将 ｜■｜扩大到原来的r倍，即得复数u的对应向量■。
作复变量代换，设点与复数对应，再复数乘法的几何作用小学数学教学论文求出。
解：如图1，设C，B对应复数z，z0，
|AB|:|BC|:|CA|=3:4:5，所以△ABC是直角三角形。
■是■绕B点顺时针旋转■且模扩大■倍的。
所以■=（－2－z0）[-■（cos■+isin■）]=（－2－z0）（－■i）。
又■=■+■ ，
所以 z=z0+（－2－z0）（－■i）=z0+■iz0+■i,
所以（1+■i）z0=z－■i，
|1+■i|·|z0|=|z－■i|，又|z0|=1，
所以|z－■i|=■，即点C的轨迹是以（0，■）为圆心，■为半径的圆。
例4已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上的任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并轨迹是属于哪种曲线。
解：如图2，作复变量代换，设zA=3+i，zB=x1+y1i，zP=x+yi，表示点A、B、P所对应的复数，则向量■可看做是由向量■按逆时针方向绕点P旋转180°，并把模缩小到原来的■而的向量。
有：■=■■（cosπ+isinπ）。
所以zB－zp=■（zA－zP）（－1）,
所以（2x1－3x+3）+（2y1－3y+1）i=0
复数相等的必要条件：
2x1■－3x+3=0，2y1－3y+1=0。即x1=■（x-1），y1=■（3y-1）。
B（x1,y1）在抛物线y2=x+1上，
所以[■（3y－1）]2=■（x－1)+1，
所以x=■y2－y+■，此轨迹为抛物线。

三、复变量代换在求函数的极值运用

例5求函数y=■+■的最小值（a>0）。
浅析：作复变量变换，令z1=x+2ai， z2=a－x+ai，那么本题就转化为求|z1|+|z2|的最小值，再运用不等式|z1|+|z2|≤ |z1+z2|≤|z1|+|z2|求得。
解：令z1=x+2ai， z2=a－x+ai ，
则y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|a+2ai|=■a。
当且仅当argz1=argz2=arg（z1+z2）时，上式等号成立，
所以 当■=■，即x=■时，函数y有最小值■a

四、复变量代换在解方程和不等式理由运用

例6解方程 2■+■=■
浅析：无理方程一般解法是去根号化为有理方程再求解，但平方后次数高，项数多，求解更加困难，根号里面可配方，类似复数的模，故可化繁为简单转化为复数理由来解决。
解：原方程可化为：■+■=■，
设z1=2x+2i，z2=1－x+i， 则z1+z2=1+x+3i,
所以原方程化为|z1|+|z2|=|z1+z2|。
显然当且仅当■，■共线且同向时上式才成立，以而■=1－x，
所以x=■时等号成立，即x=■是方程的根。
例7设a,b,x,y皆为正实数，且x2+y2=1，试证：■+■≥a+b。
证明：作复变量变换，z1=ax+byi，z2=bx+ayi，
■+■=｜z1｜+｜z2｜。
而｜z1｜+｜z2｜≥｜z1+z2｜=｜（a+b）x+（a+b）yi｜=|（a+b）（x+yi）|=｜a+b｜■=a+b。
所以■+■≥a+b。
总之，在解决数学的理由中，复变量代换可化繁为简、化难为易。
文献
「1」傅荣强.复数「M」.北京：龙门书局，2001.
「2」江兵.复变量代换在解题妙用「J」.浙江丽水师范专科学校学报，1993，（5）.
(作者单位：辽宁省营口职业技术学院)
□责任编辑：周瑜芽