相加质点,以“两点如何相加”谈起(上)

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长度相加，面积也相加。几何图形两个点能相加呢？
怪理由有来头，它是德国著名的数学家和哲学家莱布尼兹来的。
莱布尼兹为要这样的理由呢？
他想，几何图形的元素是点，点用字母表示，字母又能代替数代数运算。点也能像字母那样运算，就有可能对几何图形点用代数运算的策略教学论文来探讨图形的几何性质了。
学了数轴的知识就知道：数轴上每个点都代表数，反过来每个数都用数轴上的点表示。数能相加，是就代表数的点也能相加呢？点和点相加的结果又会是呢？
做实验来探讨这些理由。实验用纸和笔来做，你想得清楚在头脑里做。有条件，最方便的还是在计算机上做。
2 探讨两点相加的作用小学数学教学论文
如图1，数轴上有点。让对照图形深思小学英语教学论文，探讨两个点如何相加。
图1 A+M=B对不对呢？
在这条数轴上，点A表示3，点M表示5，点B表示8。既然3+5=8，可以A+M=B呢？
想法好像有，为了确认正确，还是多实验几次。
当原点O的位置转变初中数学教学论文，这时出理由了。
如图2，A，M，B三点动，但原点转变初中数学教学论文了，它们代表的数变了，现在A+M=B不对了，看来回答莱布尼兹的理由有难度。
图2 A+M=B不对了
能找到点所表示的数之间的运算联系，使得不论原点如何移动，这联系都成立呢？
继续实验、深思小学英语教学论文、探讨，并换角度看看。
当A，M，B在数轴上的位置如图3所示时，等式：B－M=M－A。
图3 这时应当有B－M=M－A
等式和刚才的A+M=B不同。在图3的情形下，无论原点如何转变初中数学教学论文，仍然有B－M=M－A，如图4。
图4 无论原点如何转变初中数学教学论文仍有B－M=M－A
想想的，便会：即使转变初中数学教学论文了原点的位置、数轴的方向数轴上单位长度的大小，总有B－M=M－A。很简单，M是线段AB的中点，A到M与M到B这两段的距离和方向都相同！
，莱布尼兹问的是两点相加，现在找到的等式是两点相减，答非所问吗？再深思小学英语教学论文下去，加和减是转化的，把好易的等式B－M=M－A移项，能A+B=2M，也说，规定：
两点A与B之和是线段AB中点的2倍。
规定以数轴上看是的，在平面坐标系里看会不会呢？
如图5，当A，B的位置转变初中数学教学论文时，无论看横坐标还是纵坐标，线段两端点坐标之和总是中点坐标的2倍。
图5 在平面坐标系里看A+B=2M的
深思小学英语教学论文探讨，等式A+C=B+D有作用小学数学教学论文呢？
设线段AC的中点为M，BD的中点为N，由前面探讨的策略教学论文知，A+C=2M，B+D=2N；以A+C=B+D能推出2M=2N，以而M=N。这线段AC和BD的中点是同点，即两条线段平分。
将A+C=B+D移项可A－D=B－C和A－B=D－C，若以几何图形上看，这两个关于点的等式又是意思呢？
如图6，观察字母之间的加减联系所的几何作用小学数学教学论文。
图6 探讨A－B=D－C的几何作用小学数学教学论文
观察的结果，你很AB与DC平行且相等，这也A－B=D－C的几何作用小学数学教学论文。同样的，A－D=B－C的几何作用小学数学教学论文是AD与BC平行且相等。总之，ABCD是平行四边形。
，将A+C=B+D移项A－D=B－C和A－B=D－C这一番代数运算，翻译成几何语言：
若AC和BD平分，则ABCD是平行四边形。
反过来，将A－D=B－C或A－B=D－C移项A+C=B+D，翻译成几何语言：
若ABCD是平行四边形，则AC和BD平分。
看，用代数运算代替几何推理，多么简洁明快！
但这点成果来之不易，是实验探讨了对两个点相加的，也说是的定义。
这定义和中点有关，用它解决涉及中点的几何理由很方便。
3 “两点相加”初露锋芒
下面看例子。
【例1】 如图7，四边形ABCD的四边中点顺次为E，F，G，H，探讨四边形EFGH有特点？
图7 四边形的四边中点构成的四边形
【解】以图上看像平行四边形，如何信服地论断呢？
策略教学论文1 点的相加，有
A+B=2E，C+D=2G，两式相加得A+B+C+D=
2E+2G；
B+C=2F，A+D=2H，两式相加得B+C+A+D=
2F+2H。
E+G=F+H，所以EG与FH平分，推出EFGH是平行四边形。
，上面用了类似代数运算的策略教学论文证明了几何论断。
在这里，默认了A+B+C+D=B+C+A+D，也点的加法交换律和律，还默认了等式的传递性，以2E+2G=2F+2H推出E+G=F+H。这些本来是数字与符号的运算性质，为何也适用于点的加法呢？这想当然，想的。
原来，点的加法本是联系着数轴上和坐标系点所对应的数的加法而引进的运算，它继承数的运算规律也足为奇了。
策略教学论文2 减法，有
以A+B=2E，B+C=2F，两式相减（消去了B）得A－C=2E－2F；
以A+D=2H，C+D=2G，两式相减（消去了D）得A－C=2H－2G。
E－F=H－G，所以EF与HG平行且相等，推出EFGH是平行四边形．
【例2】 A，B，C，D，E，F，G，H是任意8个点，分成4组，每组2个点，连成4条线段，4条线段的4个中点又分成2组，每组2个点，连成2条线段，2条线段的2个中点连成1条直线。这样分组不同，连成的不同直线可能有（估计有800多条），请你作出几条，猜想这些直线有特点？
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图8 探讨分组连线作中点产生的直线的特点
图8中用不同的分组策略教学论文产生了3条直线。你一眼就来三线共点。偶然？若在计算机上作出这8个自由点并拖动观察，你会，三条虚线总是交于一点！
这样任意分组作出的几百条直线难道都交于一点吗？是有点思议？理由留给你深思小学英语教学论文。两点相加的作用小学数学教学论文想下去，你会，不论如何分组，的两点连线的中点的8倍总等于8个自由点之和！这全部奥秘之所在。
例2说的是8个点，是3个点或5个点，有类似的规律？你不妨作图探讨一番。
【例3】 若AB和AC的中点为D和E，探讨线段DE和线段BC有联系？
如图9，作图观察你了？
图9 作图观察你了？
你，这很以点的相加的性质推导出来：A+B=2D，A+C=2E，两式相减（消去了A）得B－C=2（D－E），这直线BC和DE平行，并且线段BC的长度是DE的两倍。
4 “点的加法”的一般情形
上面例子都涉及中点，涉及三等分点或五等分点，能用点的加法表示和推导呢？
如图10，深思小学英语教学论文如何用点的加法表示A，B和M之间的联系？
图10 如何用点的加法表示三个点之间的联系？
有了前面的经验，现在知道，以减法寻求突破。
不论原点的位置如何变化，总有M－A=2（B－M）。移项整理把减法变成加法，A+2B=3M。
现在知道，对于最开始讨论的图1三个点，不论原点的位置如何转变初中数学教学论文，总有3（M－A）=2（B－M）。移项整理把减法变成加法，3A+2B=5M。
图11 不论原点的位置如何变化总有3（M－A）=2（B－M）
新的套路被你了：
A+2B=3M表示M是线段AB的三等分点，且AM=2MB。
3A+2B=5M表示M是线段AB的五等分点，且3AM=2MB。
你会猜想到，当m+n不为零时，等式mA+nB=（m+n）P表示P是线段AB上的m+n分点，且mAP=nPB。
想一想，m和n整数吗？是负数吗？多画些图做实验，你。
若把三个点放到坐标系里看，如图12，再把A+2B=3M写成M=■，并把等式点的名字换成它的横坐标或纵坐标，不定比分点公式吗？公式更简洁，更便于推导了。
图12 A+2B=3M不定比分点公式吗？
以“点的相加”开始探讨，结果不得不引出“点的倍数相加”。在类似于A+2B=3M或3A+2B=5M这样的等式中，对每个点所赋予的系数还有更多的作用小学数学教学论文吗？
如图13，杠杆左端是球，右端是2个同样的球，忽略杆和线的质量，使杠杆平衡的支点，应当条件AM=2MB，这正是刚才探讨的A+2B=3M的作用小学数学教学论文。而M的系数3，正好表示支点所受的力于3个球的质量。
图13 每个点所赋予的系数还有物理作用小学数学教学论文
以角度看，点乘上系数加，于求一组质点的重心。点的位置质点的位置，点的系数质点的质量，相加后的点的位置这组质点的重心的位置，其系数这些质点的质量之和！所以，探讨几何的策略教学论文，叫做“质点几何”的策略教学论文。
（待续）
张景中院士介绍
计算机科学家、数学家，科学院院士。
1936年生于河南开封。1959年毕业于北京大学数学力学系。1995年当选为科学院院士。现为广州大学教育软件探讨所名誉所长、中科院成都计算机运用探讨所名誉所长，科普作家协会名誉理事长，高等教育学会教育数学专业委员会名誉理事长。
多年以事教学和探讨工作，成就有：一、和了定理机器证明的数值并行策略教学论文；二、教育数学的和论述，对几何三角系统和微积分入门教学系统的革新初中英语教学论文新的案例；三、把多年来在教育数学探讨中所进展的几何新策略教学论文用于机器证明，消点思想，创建了几何定理可读证明自动生成的原理和策略教学论文。
科研成果获1982年发明二等奖，1995年科学院自然科学一等奖，1997年自然科学二等奖。
热心科普和教育。曾被评为新以来贡献的科普作家。著有《教育数学探讨》《平面几何新路》《平面几何新路—解题探讨》《帮你学数学》《新几何》《数学家的眼光》《迭代方程与嵌入流》《计算机怎样解几何题—谈谈自动推理》等科普作品。所著《教育数学丛书》获1995年图书奖。主持开发的软件《Z+Z智能教育平台》获2000年香港国际发明博览会金奖。所著《数学家的眼光》等书一套3册于2003年获第六届图书奖、五个一工程奖和全国科普创作一等奖。《数学家的眼光》一书获2003年广州市科普创作一等奖、2004年广东省科普创作特等奖、2005年科技进步二等奖。主编的《好玩的数学》丛书获2009年科技进步二等奖。
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