概念解题,在中学数学教学中贯穿数学史教育探讨

现在教育部在新课程标准中对数学史了要求，：“数学是人类文化的组成部.数学课程应数学的历史、运用和进展走势.”为此，数学课程提倡数学的文化价值，并在的内容中对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等阅读。”

一、数学史教育贯穿教学

下面以数学史教育贯穿形成式教学来浅析，并相应地给出教学案例。

1.数学史教育贯穿形成式教学的浅析

（1）数学史教育贯穿形成式学习的认知浅析
所谓形成，指对同类事物中若干不同的例子感知、浅析、比较和抽象，以归纳方式出这类事物的本质属性而的方式。
其可表述为：辨别同类事物的不同例子，归纳出例子的属性；归纳的结果，假设，并检验，出其本质属性；把本质属性与原认知结构有关相联系,并将它们区别开来；把的新的本质属性推广到同类事物中去；扩大或改组原有认知结构。
（2）数学史教育贯穿形成式教学的浅析
上述浅析，数学史教育贯穿形成式教学可如下程序：
特例 观察共性 抽象本质 形成定义 强化 运用
阶段1 教师给出一组的特殊案例，以便供学生地观察和浅析，而这些例子可来数学史的素材。
阶段2 学生处理，以小组讨论的形式或个人的观察，出这些特例数学联系的本质属性。
阶段 3 教师和学生归纳，抽象、出该组特例的本质属性。
阶段 4 教师给出的定义，由学生讨论或个人的观察、浅析下定义。
阶段 5 由学生举行更多的正例，教师举出反例让学生判断的策略，强化学生对的理解。
阶段6 的运用，的运用和讨论的性质，而讨论的性质就转入了命题学习阶段。

2.数学史教育贯穿形成式教学的案例

课题：《复数》教学如下：
①不足：让学生解方程：x2-10x+40=0
学生：方程根的判别式Δ102-4×40=-60<0。方程求解。
教师：将数拓展到更大的范围，方程的情况怎样？
②数的的进展
数的是以实践中产生和进展的。早在原始社会末期，计数的，就建立起自然数的。自然数的全体构成自然数集N。
生产和科学的进展，数的也进展。
为了表示相反作用的量和计数的，引进了零和负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数集Z。
为决测量、分配中遇到的将某些量等分的不足，又引进了有理数，规定它们形如m/n的数，m∈n,n∈N,n≠0.这样，就把整数集Z扩大为有理数集Q。为决有些量与量之间的比值用有理数表示的矛盾，又引进了无理数。
以解方程x2-10x+40=0，方程实数解，理由是负数开平方，为决不足，又引进新的数——虚数。
1545年，卡尔达诺在求解“把10分成两，使其乘积为40的不足（于求解方程x2-10x+40=0）时，断然将10分为5+ 和5- ，并说：“不管会受到多大的良心责备”，这两个式子毕竟是不足的要求的，但对“负数的平方根”深感疑虑。
整个十七世纪，的人对虚数数的有着性表示怀疑。到十八世纪，数学家们仍然为虚数所困扰。1799年，高斯复数，首次给出了代数定理的实质性的证明，使得复数的运用越来越广泛，复数才得以确立。
③复数的
形如a+bi(a,b∈R)的数被称为复数。当b=0时，实数：当b≠0时，叫做虚数，当a=0,b≠0时，叫做纯虚数；a与 b叫做复数a+bi的实部与虚部。
教师：复数几何作用是：1797年，挪威的测量员威塞尔，他在1797年的一篇论文中，除了以1为单位的实轴外，还引进一根以 为单位的虚轴，将复数 a+b 用始点在原点的一条有向线段来表示（如图 1-1 ）


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图1-1

二、数学史教育贯穿命题教学

1.数学史教育贯穿命题教学的浅析

（1）数学史教育贯穿命题学习的认知浅析
数学判断是对事物的空间形式数量联系或否定的思维形式。用来表示数学判断的语句或符号的组合称为数学命题。
数学命题学习的一般是：，感知新的命题或学习情景。然后，数学证明。，经过练习与知识整理，把新学的命题纳入到原认知结构中，充实或扩展原有认知结构。
对于数学家的创造性成果，是以证明的形式出现的，但要如下：在命题证明，是对所面对的不足观察、实验、归纳，产生猜想，多种假设，这不断地猜想与批判、证明与反驳的反复，然后才将这些假设逐步进展命题，以命题的形式确认。有了命题，才会有作证明的必要。这时，数学家用演绎推理的形式来证明数学命题，即已有的事实和正确的，严格的逻辑法则命题的推理。
（2）数学史教育贯穿命题教学的浅析
“个体知识的发生与历史上人类知识的发生是一致的。”，数学史知识贯穿命题教学可如下程序来：
不足情境→归纳命题→命题证明→命题运用
阶段 1 构造不足情境。教师将不足特殊化等手段创设不足情境，不足情境可引用数学史料，数学家对不足特殊化处理策略，观察、归纳、类比、猜测等思维来探讨不足。
阶段 2 在不足情境中，教师可数学家解决不足的思路，引导学生去感知、体验，以而归纳出命题。
阶段 3 浅析证明思路，写出证明。
阶段 4 命题的运用，转本科论文入解题教学。

2.数学史教育贯穿命题教学的案例

课题：求自然数的前n项和。
教学如下：
，不足情境。
教师引导学生探讨下列不足，这些不足是自然数的前n项和的特例。
1+2=？ 1+2+3=？ 1+2+3+4=？ 1+2+3+4+5=？
，归纳命题。
①可引入古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数” [3]（如图2-1）
教师：上述式子可用下图来表示，找出式子与图形的联系？





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图2-1 三角形数 图2-2
学生：个图形表示的数是 1；个图形表示的数是1+2；个图形表示的数是1+2+3；个图形表示的数是1+2+3+4。
教师：想一想怎样用图形来计算自然数的和？提示学生将“三角形”补成平行四边形。
学生：设想有另外个图形（如图2-2）将其倒放，并与原来的接合，就平行四边形，总共有4行，每一行有5个球，所以全部有4*5=20个球，S4*5/2 。
②把这一不足推广到一般的情形，即
1+2+3+……+n=n(n+1)/2

三、数学史教育贯穿不足解决教学

1.数学史教育贯穿不足解决教学的浅析

（1）数学史教育贯穿不足解决学习的认知浅析
不足解决是在、命题学习的上运用知识去解决不足的学习形式。加涅，“不足解决并简单地运用以前习得的或命题，它是产生新的学习的。学习者被置于不足情境中，回忆先前已掌握的或命题，以试图找出解决不足的答案。在思维中，学习者会尝试并检验的可运用性。当找到适合这一不足情境与某些或命题之间的特定联系时，仅解决了不足，也学会了某些新的东西，它使个体解决类型的其他不足。”
数学解题的思维一般是：理解题意，然后，题意，解题的想法和思路，并选择最佳想法和思路解题计划。在解题想法和思路而解题计划中，为了揭示条件和之间的本质联系，要对它们作地比较，因素以联系中被发掘出来，经过重新组合产生新的因素，形成新的结构，体现出新的性质，对原有因素有了新的理解，，以中解题设想解题的案例；反思其解题思维活动，对数学结果推广等。[4]
（2）数学史教育贯穿不足解决教学的浅析
数学史教育贯穿不足解决教学可如下程序：
↗解答不足
不足 ←→ 另解不足
↘不足一般化
阶段 1 教师不足，引导学生浅析不足，师生讨论完成不足解答，可引入数学家解决不足的思路和策略，寻求解答对策。
阶段 2 回答不足，教师启发学生积极深思，寻求另外的解题途径，可以其他的数学家深思不足的角度，展现不同的数学家解决不足的思路和策略。可由学生合作讨论，案例多种多样。
阶段 3 回到不足，对原不足推广。对不足的推广常常是把不足的条件推广，推广为一般形式。与数学史知识相联系，可引入数学史料，理解并欣赏数学家解决不足的对策。然后，引入数学史料；先交待数学史料，激发学生对不足的挑战，然后，讲解解决不足的策略。

2.数学史教育贯穿不足解决教学的案例

课题：求球的体积
德国数学家和天文学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。他球的体积是无数多个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一，他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并计算出它的体积，然后证明球的体积是半径乘以球面面积的三分，即：球体积公式V=R·4πR2/3. [3]总之，数学史教育贯穿数学教学在某种作用上来说，了数学课堂教学，使课堂变得更加生动活泼，易于学生学习数学学科知识，易于进展学生的运用意识与革新意识，易于培育学生积极的情感、科学的态度和正确的价值观。这就要求教师应选择科学性的、性的、趣味性的数学史，采取灵活多样的教学方式教学。
文献
[美]莫里斯·克莱因著.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2005
张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004
[3]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2000
[4]郭思乐,喻纬.数学思维教育论[M].上海:上海教育出版社,1993

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