方程,函数方程几种常见解法

摘要： 了函数方程、复合函数及与函数方程有关的一系列的定义，准确浅析了函数方程f［g（x）］=h（x）应的条件及有解的条件；然后高斯函数方程的解法特点；列举实例，函数方程的常用策略教学论文.
词： 函数方程复合函数解法

一、函数方程f［g（x）］=h（x）的解法

1.关于函数方程f［g（x）］=h（x）的有解条件

由函数、复合函数的知，该方程的解f（u）下述特点：
（1）f（u）是非空数集D到非空数集M上的满射（M中每元素都有原象）.
（2）y=f（u）、u=g（x）的复合函数f［g（x）］有着，即函数f（x）的定义域与函数g（x）的值域之交集是非空数集.
（3）f［g（x）］=h（x）的解使等号两侧的函数f［g（x）］、h（x）保持对应法则相同，使它们的定义域（E?勐E=E）相同、值域相同.
，当方程的对应法则f（x）不有着，或其有着但至少与上述三点相悖时，此方程无解.
当方程的对应法则f（x）有着，上述三点，且D=D时，此方程有解.
当方程的对应法则f（x）有着，上述三点，且D?奂D时，此方程有无穷多个解.

2.函数方程f［g（x）］=h（x）的解法

在解此类函数方程时应严格.
（1）函数方程f［g（x）］=h（x）有解的条件判断函数方程有解，若有解，解的个数又是多少.
（2）用换元法求出其解.
（3）检验所求出的解复合函数定义域、值域之间的联系.
例1：已知f（）=lg（2x+1），f（u）是定义在（-∞，-5）∪（1，+∞）上的函数，求f（u）.
误解：设=u，则x=，代入已知等式得：
f（u）=lg（+1），
∴f（u）=lg，u∈（-∞，-5）∩（1，+∞）为所求.
此题的解法看上去是准确无误，实际上是忽视了此方程有解的条件，理由是E=（-0.5，+∞），E?哿E=（-∞，0）∪（0，+∞），必有E≠E，，本题也无解.

二、求解高斯函数方程的几种策略教学论文

函数f（x）=［x］叫做高斯函数，［x］表示不超过实数x的最大整数.含有［x］的方程叫做高斯函数方程，下面就举例解高斯函数方程常用的技艺.

1.巧用［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1的性质

由定义可知［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1，巧用这

一、解方程两边关于x的同次的理由，快捷简明.

例2：方程［3x-4］-2x-1=0的解是.
解：［3x-4］=（3x-4）-［x-5］，
所以0≤x-5＜1，解得5≤x＜6，以而得≤2x+1＜.
由2x+1∈Z，得2x+1=1

3、14，故x=6或x=6.

2.放缩法缩小不等式的范围

题意，用放缩法先求出x的范围，再由［x］是整数，即可求出其解.由定义很x-1＜［x］≤x，x-1＜［x］≤x就为用放缩法创造了的条件.
例3：求方程x-8［x］+7=0的全部解.
解：∵［x］=（x+7）
∴x-1＜（x+7）≤x，解得1≤x＜3或5＜x≤7，以而有
1≤（x+7）＜2或4＜（x+7）≤7，
∵（x+7）∈Z，
∴（x+7）=

1、

5、6、7，又x＞0.

∴x=1，x=，x=，x=7.

3.巧用分类讨论法

某些高斯函数方程，分类讨论的策略教学论文达到解题的目的.
例4：试求方程的质数解：［］+［］+［］=q.
解：（1）当p=2时，代入原方程，得q=1，这与q是质数矛盾.
（2）当p=3时，代入原方程，得q=2.
（3）当p＞3时，任何质数p=6k±1，k∈N.
若p=6k+1，则代入原方程，得
q=［3k+］+［2k+］+［k+］=3k+2k+k=6k，这与q是质数矛盾.
若p=6k-1，则代入原方程，得
q=［3k-］+［2k-］+［k-］=（3k-1）+（2k-1）+（k-1）=6k-3=3（2k-1）
要使q是质数，2k-1=1，即k=1，p=5，q=3.
综上可得，所求的质数解是p=3，q=2或p=5，q=3.