磁场,线圈,探析1道电磁感应题

习题：如图1，有质量为m、电阻为R、边长为L的正方形线圈，磁感应强度为B、宽度为L的磁场，设ab边、cd边磁场时的速度为v1、v2,cd边离开磁场时的速度为v3，则v2与v1+v32的大小联系是（）。
A.v2＞v1+v32
B.v2=v1+v32
C.v2＜v1+v32
D.确定

浅析：当线圈磁场时，加速度a=Fm=-B2L2vmR=dvdt。
设B2L2mR=k，则-kv=dvdt，即dvv=-kdt。解此微分方程：∫1vdv=∫(-kdt)+C,即lnv=-kt+C。当t＝0时线圈刚磁场，v=v1,C=lnv1,即lnv-lnv1=-kt,lnvv1=-kt,得v=v1e-kt，如图2。
下面求线圈磁场后的位移随时间的变化规律（速度变化规律）：ds=vdt=v1e-ktdt,有s=∫s0ds=∫t0v1e-ktdt。更换自变量：设-kt=x,则s=∫x0v1exd(
-xk)=-v1k∫-kt0exdx,s=v1k·(1-e-kt)，这s与v1呈线性联系。
线圈以开始至完全磁场的位移为L，求得对应的时间：s=L=v1k(1-e-kt),即e-kt=1-kLv1,-kt=ln(1-kLv1),得t=-1kln(1-kLv1)，线圈完全磁场时的速度为v2=v1e-kt=
v1e-k(-1kln(1-kLv1))=
v1eln(1-kLv1)=
v1(1-kLv)=v1-kL。而k=B2L2mR，得v2=v1-B2L3mR，即Δvab=v1-v2=B2L3mR。同理可得v3=v2-B2L3mR,即Δvcd=v2-v3=B2L3mR,所以有v1-v2=v2-v3，即v2=v1+v32,故B选项正确。
探讨1：当线圈的初速穿过磁场,即v3＞0时，这时要求v3=v2-B2L3mR=(v1-B2L3mR)-B2L3mR=v1-2B2L3mR＞0，即v1＞2B2L3mR时才保证线圈穿过磁场。
探讨2：当v1＜B2L3mR，即v2=v1-B2L3mR＜0时，线圈穿过磁场，此时的运动为：当t→∞时v2=v1e-kt=0,走过的路程s=v1k(1-e-kt)=v1k=mRv1B2L2＜L，即经过无穷时间后，线圈停滞在磁场的边界上。
探讨3：当B2L3mR＜v1＜2B2L3mR时，线圈停滞在出磁场的边界上。
(责任编辑 黄春香）